Lille vinkel

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Sammenligning mellem sinus og approksimationen for sinus. Det ses, at de to grafer følger hinanden, når argumentet - her - er tæt på nul.

Approksimationen for den lille vinkel går ud på at erstatte trigonometriske funktioner med simplere funktioner, så længe argumentet er småt. Approksimationen siger for sinus, cosinus og tangens:[1]

når er lille og målt i radianer.

Udledning[redigér | rediger kildetekst]

Approksimationen er en taylorudvikling til første orden omkring . Et taylorpolynomium omkring nul for en funktion kan generelt skrives som:

For sinus er polynomiet:

Mens det for cosinus er:

Endelig har man for tangens:

Når disse polynomier begrænses til første orden, reducerer de til approksimationen for små vinkler. Approksimationen bruges til at gøre beregninger simplere og kan bruges så længe, den resulterende fejl er lille nok til formålet.

Eksempel[redigér | rediger kildetekst]

Uddybende Uddybende artikel: Matematisk pendul

Approksimationen bruges fx til at modellere et penduls svingning for små udsving. Hvis pendulet modelleres som et lod i en masseløs snor med længden og tyngdeaccelerationen , kan det udledes, at:[2]

hvor er vinklen. Denne differentialligning skal løses for at finde pendulets bevægelse, men sinus-funktionen gør det kompliceret. Hvis det antages, at udsvingene er små, bliver ligningen i stedet:

hvilket er væsentligt lettere at løse.

Kildehenvisninger[redigér | rediger kildetekst]

  1. ^ Kro, Tore August (2003), "MATINTRO - FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE" (PDF), web.math.ku.dk, Københavns Universitet, s. 33, arkiveret fra originalen (PDF) 15. juni 2020, hentet 11. juni 2019
  2. ^ DeCross, Matt; 展豪, 張; Ross, Eli; Khim, Jimin, "Small-Angle Approximation", Brilliant, hentet 11. juni 2019