Lineær transformation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I matematikken er en lineær transformation (også kaldet en lineær afbildning eller en lineær operator) en funktion mellem to vektorrum, der bevarer vektoraddition og skalarmultiplikation. Med andre ord bevarer den linearkombinationer.

I abstrakt algebra er en lineær transformation en homomorfi af vektorrum.

Definition og første følger[redigér | redigér wikikode]

Hvis V og W er vektorrum over det samme legeme K, siges f : VW at være en lineær transformation, hvis der for alle vektorer x og y i V og alle skalarer a i K gælder, at

f(x+y)=f(x)+f(y) \,
f(ax)=af(x) \,.

Dette er ækvivalent med at sige, at f bevarer linearkombinationer, hvilket vil sige, at der for alle vektorer x1, ..., xm i V og skalarer a1, ..., am i K gælder, at

f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m).

Det hænder, at V og W betragtes som vektorrum over forskellige legemer. Da er det normalt at specificere hvilket af disse legemer, der brugtes til at definere, at transformationen var lineær. Hvis V og W betragtes som K-vektorrum som ovenfor, taler man typisk om K-lineære afbildninger. Eksempelvis er konjugeringen af komplekse tal en R-lineær afbildning CC, men den er ikke C-lineær.

Det følger af definitionen, at f(0) = 0, hvorfor lineære transformationer til tider kaldes homogene lineære transformationer.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

  • Hvis A er en m × n-matrix over R, definerer A en lineær transformation fra Rn til Rm ved at sende søjlevektoren xRn i søjlevektoren AxRm. Enhver lineartransformation mellem endeligdimensionale vektorrum opstår således.
  • Integralet danner en lineær afbildning fra rummet af alle reelle integrable funktioner defineret på et vilkårligt interval til R.
  • Differentiation er en lineær transformation fra rummet af alle differentiable funktioner til rummet af alle funktioner.