Mersennetal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Mersennetal er heltal på formen 2n-1. De er opkaldt efter den franske munk Marin Mersenne (1588–1648), som undersøgte disse tal, herunder specielt hvorvidt de var primtal. En nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for, at 2n-1 er primtal, er, at n selv er et primtal, idet hvis p er en ægte divisor i n, så er 2p-1 en ægte divisor i 2n-1.

Der findes forholdsvis simple metoder til at beregne, om et mersennetal er et primtal. Lucas–Lehmer-testen kan bevise, at mersennetallet er primisk ved hjælp af kun n operationer. Dette betyder, at verdens største kendte primtal som regel er mersenneprimtal.

Marin Mersenne påstod, at mersennetallene var primiske for n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257 og sammensatte for øvrige værdier af n. Senere undersøgelser har vist, at n = 67 og 257 ikke giver primtal, og at n = 61, 87 og 107 giver mersenneprimtal.

Der formodes at være uendeligt mange mersenneprimtal, men dette er ikke bevist.

Fra et mersenneprimtal kan man konstruere et fuldkomment tal (Euklid), og alle lige fuldkomne tal fremkommer på denne måde (Euler).

GIMPS er en gruppe på Internettet, som bruger deres ledige computertid til at finde nye og større mersenneprimtal. I april 2009 kendtes der i alt 47 mersenneprimtal hvoraf GIMPS havde fundet de 13 største:

# n Cifre i 2n-1 Fundet Opdager
1 2 1 oldtiden ukendt
2 3 1 oldtiden ukendt
3 5 2 oldtiden ukendt
4 7 3 oldtiden ukendt
5 13 4 1456 ukendt
6 17 6 1588 Cataldi
7 19 6 1588 Cataldi
8 31 10 1772 Euler
9 61 19 1883 Pervushin
10 89 27 1911 Powers
11 107 33 1914 Powers
12 127 39 1876 Lucas
13 521 157 1952 Robinson
14 607 183 1952 Robinson
15 1.279 386 1952 Robinson
16 2.203 664 1952 Robinson
17 2.281 687 1952 Robinson
18 3.217 969 1957 Riesel
19 4.253 1.281 1961 Hurwitz
20 4.423 1.332 1961 Hurwitz
21 9.689 2.917 1963 Gillies
22 9.941 2.993 1963 Gillies
23 11.213 3.376 1963 Gillies
24 19.937 6.002 1971 Tuckerman
25 21.701 6.533 1978 Noll & Nickel
26 23.209 6.987 1979 Noll
27 44.497 13.395 1979 Nelson & Slowinski
28 86.243 25.962 1982 Slowinski
29 110.503 33.265 1988 Colquitt & Welsh
30 132.049 39.751 1983 Slowinski
31 216.091 65.050 1985 Slowinski
32 756.839 227.832 1992 Slowinski & Gage
33 859.433 258.716 1994 Slowinski & Gage
34 1.257.787 378.632 1996 Slowinski & Gage
35 1.398.269 420.921 13. november 1996 GIMPS
36 2.976.221 895.932 24. august 1997 GIMPS
37 3.021.377 909.526 27. januar 1998 GIMPS
38 6.972.593 2.098.960 1. juni 1999 GIMPS
39 13.466.917 4.053.946 14. november 2001 GIMPS
40 20.996.011 6.320.430 17. november 2003 GIMPS
41 24.036.583 7.235.733 15. maj 2004 GIMPS
42 25.964.951 7.816.230 18. februar 2005 GIMPS
43 30.402.457 9.152.052 15. december 2005 GIMPS
44* 32.582.657 9.808.358 4. september 2006 GIMPS
45* 37.156.667 11.185.272 6. september 2008 GIMPS
46* 42.643.801 12.837.064 12. april 2009 GIMPS
47* 43.112.609 12.978.189 23. august 2008 GIMPS
48* 57.885.161 17.425.170 25. januar 2013 GIMPS


*Det er endnu ikke bevist at der ikke eksisterer andre mersenneprimtal mellem det 43. og 48. mersenneprimtal. Nummereringen er derfor kun foreløbig.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Eksterne henvisninger[redigér | redigér wikikode]