Ortonormal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
(Omdirigeret fra Ortonormal basis)
Gå til: navigation, søg

I matematikken siger man, at to vektorer er ortonormale, hvis det er ortogonale enhedsvektorer.

I planet R² og rummet R³ er det indre produkt typisk underforstået at være prikproduktet, så her kaldes to vektorer v og w ortonormale, hvis

  • \Vert\mathbf{v}\Vert = \sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}} = 1 og \Vert\mathbf{w}\Vert = 1,
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = 0.

Helt generelt kaldes to vektorer v, w i et indre produkt-rum V ortonormale, hvis

  • \Vert\mathbf{v}\Vert = \sqrt{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle} = 1 og \Vert\mathbf{w}\Vert = 1,
  • \langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle = 0.

Her kan første betingelse udskiftes af den ækvivalente betingelse <v, v> = <w, w> = 1.


Hvis B = {v1, v2, ..., vn} er en basis for et indre produkt-rum V, kaldes B en ortonormalbasis (evt. en ortonormal basis), hvis alle vektorene i B er indbyrdes ortonormale. Dvs. <vi, vi> = 1 for alle i, og <vi, vj> = 0 for alle ij. Eller endnu kortere: <vi, vj> = δij, hvor δij er Kroneckers deltafunktion.

Som et eksempel på en ortonormalbasis kan nævnes enhedsvektorerne i, j og k i rummet R³, mht. prikproduktet.