Plan (matematik)
En matematisk plan er det fundamentale todimensionelle objekt. Det kan visualiseres som et fladt stykke papir, som breder sig uendeligt i alle retninger. De fleste trigonometriske, geometriske og grafiske operationer udføres i sådan en plan. I en given plan kan der introduceres et koordinatsystem, som gør os i stand til at referere til samtlige punkter i planen.
En plan kan defineres ud fra en af følgende metoder:
- Tre punkter, som ikke ligger på linje.
- En linje og et punkt, som ikke ligger på linjen.
- En vektor, der står vinkelret på planen, og kaldes for normalvektor for planen og et punkt i planen.
- To linjer, der enten skærer hinanden i et enkelt punkt, eller er parallelle uden at være kollineære.
Selve planen er repræsenteret ved planens ligning, som er:
hvor planen er orienteret vinkelret på normalvektoren givet ved koordinaterne . Alle vektorer, som er parallelle med vil også være normalvektorer til planen. Planer med samme normalvektor, men med forskelligt , vil være parallelle.
Hvis man ikke kender en normalvektor, kan den udregnes som krydsproduktet mellem to vilkårlige, egentlige vektorer i planen, som ikke er parallelle. Normalvektoren giver normalretningen for planen.
For at finde , er man yderligere nødt til at kende et punkt i planen. Da er
Planen der indeholder x- og y-akserne, kaldes x-y-planen og har ligningen . Tilsvarende gælder for x-z-planen med ligning og y-z-planen med ligning .
Et punkts afstand til planen
Afstanden fra et vilkårligt punkt i vektorrummet til planen, , kan findes ved at indsætte koordinaterne for punktet i denne ligning:
hvor og er koefficienterne til planens ligning. Hvis punktet ligger i planen, er .
Andre betydninger
For andre betydninger af ordet, se plan