Potensrække

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I matematikken er en potensrække (i en variabel) en uendelig række på formen

\sum_{n=0}^\infty a_n \left( z-c \right)^n = a_0 + a_1 (z-c) + a_2 (z-c)^2 + a_3 (z-c)^3 + \cdots,

hvor an er den n'te koefficient, c er en konstant, og z tager værdier omkring c (hvorfor man af og til taler om, at rækken har centrum i c). Tallene an, c og n er typisk reelle eller komplekse. Rækkerne opstår ofte som Taylorpolynomiet af en givet funktion.

I mange situationer er c lig nul; eksempelvis ved Maclaurinrækkerne. I disse tilfælde bliver rækken til det simplere

\sum_{n=0}^\infty a_n z^n = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \cdots.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

Ethvert polynomium kan let udtrykkes som en potensrække med centrum i c. For eksempel kan polynomiet f(x) = x^2 + 2x + 3 skrives som en potensrække med centrum c=0, idet

f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,

eller med centrum c=1 som

f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,

eller med et vilkårligt andet centrum. Man kan ofte betragte potensrækker som "polynomier af uendelig grad," selvom potensrækker ikke er polynomier.

Den geometriske række, hvor alle koefficienterne er lig 1,

 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,

som er gyldig for x\in\{z\in\mathbb{C}\mid|z|<1\} er en af de vigtigste eksempler på en potensrække. Det samme gælder eksponentialfunktionen

 e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots.

Disse potensrækker er også eksempler på Taylorrækker. Der findes imidlertid også potensrækker, der ikke er Taylorrækken for nogen funktioner; eksempelvis

\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.

Negative eksponenter tillades ikke i potensrækker – f.eks. betragtes rækken 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots ikke som en potensrække (selv om det er en Laurentrække). På samme måde tillades ikke brøkeksponenter som f.eks. x^{1/2} (se Puiseuxrække). Koefficienterne a_n må ikke afhænge af x, så

\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \, er f.eks. ikke en potensrække.

Konvergensradius[redigér | redigér wikikode]

En potensrække vil konvergere for bestemte værdier af variablen x (mindst for x = c), og kan divergere for andre. Der findes altid et tal r med 0 ≤ r ≤ ∞ sådan, at rækken konvergerer, når |xc| < r og divergerer, når |xc| > r. Tallet r kaldes rækkens konvergensradius; generelt er den givet ved

r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}

eller, ækvivalent,

r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}

(se limes superior og limes inferior). En lettere måde at beregne den, er

r=\lim_{n\to\infty}\left|{a_n \over a_{n+1}}\right|,

hvis denne grænse eksisterer.

Rækken konvergerer absolut for |xc| < r, og den konvergerer uniformt på enhver lukket og begrænset delmængde af \{x \mid |x-c|<r\}.

For |xc| = r er det ikke muligt at lave et generelt udsagn om, hvorvidt rækken konvergerer eller divergerer. Dog siger Abels sætning, at rækkens sum er kontinuert i x, hvis rækken konvergerer i x.