Raketligningen

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Spring til navigation Spring til søgning
Plot af raketligningen.

Raketligningen er den simpleste matematiske model for en rakets fremdrift. Ligningen blev udledt af Konstantin Tsiolkovskij.

Ligningen[redigér | redigér wikikode]

Ligningen skrives: [1]

hvor:

: rakettens endelig fart
: farten hvormed rakettens brændsel udstødes i forhold til raketten
: rakettens begyndelsesmasse
: rakettens masse uden brændstof

Ligningen kan bruges til at beregne en rakets endelig fart, når alt brændstof er brugt.

Udledning[redigér | redigér wikikode]

Illustration of modellen. Raketten udskyder en lille masse og skubbes derved fremad.

En raket udskyder masse med en rate og en hastighed i forhold til raketten selv. For en infinitesimal udskudt masse er den infinitesimale impuls :

Selve raketten må have en lige så stor impulsændring i modsat retning jf. Newtons tredje lov. Raketten har massen og oplever en infinitesimal hastighedsændring :

Da impulsændringerne er lige store, har man:

Dividerer man med massen og integrerer, har man:

Og dermed:

hvor er integrationskonstanten. I begyndelsen vil raketten have massen og ikke bevæge sig, hvilket betyder, at:

Altså har man:

hvor er tid. Man har nu en bevægelsesligning for raketten. Kalder man massen af en raket, der er tømt for brændstof , og den maksimale hastighed , finder man denne relation:

hvilket er raketligningen, som den typisk bliver præsenteret. Det ses, at rakettens endelige hastighed bliver større, jo større del af raketten er brændstof. Man kan tilsvarende skrive:

med den kan man beregne, hvor meget brændstof er nødvendigt for at opnå en bestemt sluthastighed. [1]

Kildehenvisninger[redigér | redigér wikikode]

  1. ^ a b Jensen, Jens Højgaard (2014), "Raketligningen og Keplers anden lov" (PDF), KVANT, marts, s. 22.