Regneregler for differentiation

Her er nogle regneregler for differentiation. Det forudsættes at alle funktioner er differentiable og dermed kontinuerte for den givne definitionsmængde:

• $y(x)=k$, hvor $k$ er en konstant, har den afledede $y'(x)=0$
• (1): $y(x)=x\cdot k$, hvor $k$ er en konstant, har den afledede $y'(x)=k$
• $y(x)=k\cdot x^{n}$ har den afledede $y'(x)=k\cdot n\cdot x^{n-1}$, og heraf
• $y(x)={\frac {1}{x}}$ har den afledede $y'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$, undtagen for x=0

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:

• $(f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$ (kædereglen)
• (2): $(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$
• $(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$
• $(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$ (produktreglen)
• $\left({\frac {1}{g}}\right)'(x)=-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}}$, undersøges for g(x)=0
• $\left({\frac {f}{g}}\right)'(x)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^{2}}}=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot (-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}})$, undersøges for g(x)=0 (følger af $(f\cdot h)'(x)=f'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot h'(x)$ og $\left({\frac {1}{g}}\right)'(x)=-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}}$)

• Differentiation er linear. (følger af (1) og (2) )

• Sinus-funktionen $\sin(x)$ har differentialkvotienten $\sin '(x)=\cos x$
• Cosinus-funktionen $\cos(x)$ har differentialkvotienten $\cos '(x)=-\sin x$
• Tangens, $\tan(x)$, har differentialkvotienten $\tan '(x)=1+\tan ^{2}(x)$
• Den naturlige eksponentialfunktion, $e^{x}$, er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$.
• Den naturlige logaritme, $\ln(x)$, har differentialkvotienten $\ln '(x)={\frac {1}{x}}$

Differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner

Hvis $A\subseteq \mathbb {R}$, $a\in A$ og funktionerne $f$ og $g:A\to \mathbb {R}$ er differentiable i $a$, er $f+g$ differentiabel i $a$ og differentialkvotienten af summen $f+g$ i $a$ lig summen af funktionernes differentialkvotienter.

Sætningen: $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$

Differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner

Produktreglen lader differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning

En funktion, f(x), der er givet som et produkt:

$f(x)=v(x)\cdot u(x)$

har differentialkvotienten

$f'(x)=v'(x)\cdot u(x)+v(x)\cdot u'(x)$

Bevis

Først findes sekantens hældning, eller differenskvotienten:

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Hvilket, idet f(x) = v(x)u(x), bliver

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)\cdot u(x+\Delta x)-v(x)\cdot u(x)}{\Delta x}}$

Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)\cdot u(x+\Delta x)-v(x)\cdot u(x)+v(x+\Delta x)\cdot u(x)-v(x+\Delta x)\cdot u(x)}{\Delta x}}$

u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x)-u(x)]+u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}}$

$\Updownarrow$

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {v(x+\Delta x)[u(x+\Delta x)-u(x)]}{\Delta x}}+{\frac {u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{\Delta x}}$

$\Updownarrow$

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=v(x+\Delta x)\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\right]+u(x)\left[{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]$

Differentialkvotienten bliver således:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)$

Hvilket i det generelle tilfælde er:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left(v(x+\Delta x)\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\right]+u(x)\left[{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]\right)$

$\Updownarrow$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}(v(x+\Delta x))\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}\right]+\lim _{\Delta x\to 0}(u(x))\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}\right]$

Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:

$f'(x)=v(x)\cdot u'(x)+u(x)\cdot v'(x){\frac {}{}}$

Umiddelbart ville man ikke tro at $\lim _{\Delta x\to 0}(v(x+\Delta x))=v(x)$, og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):

${\frac {d}{dx}}u(x)\cdot v(x)=v'\cdot u+v\cdot u'$

$Q.E.D.{\frac {}{}}$