Regneregler for differentiation

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Jump to navigation Jump to search

Her er nogle regneregler for differentiation. Det forudsættes at alle funktioner er differentiable og dermed kontinuerte for den givne definitionsmængde:

  • , hvor er en konstant, har den afledede
  • (1): , hvor er en konstant, har den afledede
  • har den afledede , og heraf
  • har den afledede , undtagen for x=0

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:

  • (kædereglen)
  • (2):
  • (produktreglen)
  • , undersøges for g(x)=0
  • , undersøges for g(x)=0 (følger af og )
  • Differentiation er linear. (følger af (1) og (2) )
  • Sinus-funktionen har differentialkvotienten
  • Cosinus-funktionen har differentialkvotienten
  • Tangens, , har differentialkvotienten
  • Den naturlige eksponentialfunktion, , er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen .
  • Den naturlige logaritme, , har differentialkvotienten

Differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner[redigér | redigér wikikode]

Hvis , og funktionerne og er differentiable i , er differentiabel i og differentialkvotienten af summen i lig summen af funktionernes differentialkvotienter.

Sætningen:

Differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner[redigér | redigér wikikode]

Produktreglen lader differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning[redigér | redigér wikikode]

En funktion, f(x), der er givet som et produkt:

har differentialkvotienten

Bevis[redigér | redigér wikikode]

Først findes sekantens hældning, eller differenskvotienten:

Hvilket, idet f(x) = v(x)u(x), bliver

Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt.

u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:

Differentialkvotienten bliver således:

Hvilket i det generelle tilfælde er:

Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:

Umiddelbart ville man ikke tro at , og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):