Riemanns zetafunktion

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I matematikken er Riemanns zetafunktion, opkaldt efter Bernhard Riemann, en betydningsfuld funktion i talteorien, da den fortæller om fordelingen af primtal. Den har også anvendelser i andre områder, såsom fysik, sandsynlighedsteori og anvendt statistik.

Definition[redigér | redigér wikikode]

Riemanns zetafunktion for reelle s > 1

Riemanns zetafunktion ζ(s) er defineret for alle komplekse tal s med realdel > 1 ved Dirichletrækken:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}

Denne uendelige række konvergerer\{s\in\mathbb{C} \mid \Re(s) > 1\} og definerer en analytisk funktion på området. Bernhard Riemann indså, at zetafunktionen med analytisk fortsættelse på entydig vis kan udvides til en meromorf funktion ζ(s) defineret for alle komplekse tal s med s ≠ 1. Det er denne funktion, der anvendes i Riemannhypotesen.

Værdier ved heltalsværdier af x[redigér | redigér wikikode]

De følgende er zetafunktionens værdier for enkelte små tal.

\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty; dette er den harmoniske række.
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}; demonstrationen af denne lighed er kendt som Baselproblemet.
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202\dots ; dette tal kaldes Apérys konstant.
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
\zeta(5) = 1 + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{3^5} + \cdots \approx 1.036\dots
\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{945}
\zeta(7) = 1 + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{3^7} + \cdots \approx 1.0083\dots
\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \cdots = \frac{\pi^8}{9450}
\zeta(9) = 1 + \frac{1}{2^9} + \frac{1}{3^9} + \cdots \approx 1.0020\dots
\zeta(10) = 1 + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{3^{10}} + \cdots = \frac{\pi^{10}}{93555}
\zeta(12) = 1 + \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{3^{12}} + \cdots = \frac{691\pi^{12}}{638512875}
\zeta(14) = 1 + \frac{1}{2^{14}} + \frac{1}{3^{14}} + \cdots = \frac{2\pi^{14}}{18243225}
Matematik Stub
Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.