Partikel i en boks: Forskelle mellem versioner

← Gå til forrige forskel Gå til næste forskel →

Content deleted Content added

Inline

Versionen fra 6. dec. 2019, 23:46

En partikel i en én-dimensionel boks. A) Partiklen i følge klassisk mekanik. B-F) Partiklen i følge kvantemekanik som beskrevet med bølgefunktionen. B-D) er energi-egentilstande, mens E-F) er kombinationer af egentilstande.

Partiklen i en boks eller den uendelige brønd er inden for kvantemekanikken den simpleste model for en partikel i et potentiale. Inden for et begrænset interval i rummet er potentialet fladt, men uden for dette interval er potentialet uendeligt, og partiklen kan således ikke slippe ud. Ved at løse Schrödinger-ligningen ses det, at partiklen kun kan antage diskrete energitilstande - et kendetegn ved kvantemekanikken.

Potentialet

Potentialet $V$ er altså givet ved:

V(x)={\begin{cases}0,&0<x<L,\\\infty ,&{\text{ellers,}}\end{cases}},

hvor $L$ er sidelængden. Dette er for én dimension ( $x$ ), men for flere dimensioner skal betingelsen blot gentages for hver dimension.^[1]

Løsningen i 1D

For den én-dimensionelle boks er den tidsuafhængige Schrödinger-ligning:

E\psi =\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V({\vec {x}})\right)\psi

I boksen er potentialet 0, og ligningen kan derfor reduceres til:

E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}

Det uendelige potential kan implementeres ved at kræve at bølgefunktionen er 0 i siderne, da partiklen ikke kan forlade boksen:

\psi (0)=\psi (L)=0

Dette er grænsebetingelserne og gælder desuden generelt for stående bølger. Det ses, at Schrödinger-ligningen er reduceret til differentialligningen for en bølge:

{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi

hvor den generelle løsning kan skrives som:

\psi (x)=A\cos \left({\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}x\right)+B\sin \left({\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}x\right)

Hvis 0 sættes ind skal bølgefunktionen også være 0:

{\begin{aligned}0&=\psi (0)=A\cos \left(0\right)+B\sin(0)\\0&=A\end{aligned}}

Cosinus-funktionen falder altså ud:

\psi (x)=B\sin \left({\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}x\right)

hvor faktoren foran $x$ er bølgetallet $k$ :

k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}

Sammenhængen mellem bølgetal og bølgelængde $\lambda$ er:

k={\frac {2\pi }{\lambda }}

Efter $x=0$ er sinusfunktionen 0 for hver halve bølgelængde. For at bølgefunktionen skal opfyldes grænsebetingelserne, skal det altså gælde, at:

L=n{\frac {\lambda }{2}}

hvor $n$ er et naturligt tal, der angiver antallet af halve bølgelængder inden for $L$ . Bølgetallet er dermed også givet ved:^[1]

k={\frac {\pi n}{L}}

Energiniveauer

Ved at sætte de to udtryk for bølgetallet lig hinanden

{\frac {\sqrt {2mE_{n}}}{\hbar }}={\frac {\pi n}{L}}

kan partiklens energi bestemmes:

$E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}$

Det ses, at der er et energiniveau for hver værdi af $n$ . Da $n$ kun kan antage diskrete værdier, kan $E_{n}$ altså også kun antage diskrete værdier. Dette er stik imod det klassiske tilfælde, hvor en partikel kan have en hvilken som helst kinetisk energi.^[1]

Bølgefunktionen

Den tilsvarende bølgefunktion for $E_{n}$ er:

\psi _{n}(x)=B\sin \left({\frac {\pi n}{L}}x\right)

Dette skal normaliseres:

{\begin{aligned}1&=\int _{0}^{L}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(x)dx=|B|^{2}\int _{0}^{L}\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{L}}x\right)dx={\frac {|B|^{2}L}{2}}\\|B|^{2}&={\frac {2}{L}}\end{aligned}}

Den simpleste løsning for $B$ er bare reel:

B={\sqrt {\frac {2}{L}}}

Altså er bølgefunktionen for $E_{n}$

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {\pi n}{L}}x\right)$

Da hver bølgefunktion passer til en bestemt energi, kaldes de for energi-egentilstande. Tilstanden, hvor $n=1$ , er grundtilstanden, mens de andre tilstande er eksiterede tilstande med højere energi.

Den tidsafhængige løsningen for egentilstanden kan hurtigt findes ved at gange en faktor på:^[1]^[2]

$\Psi _{n}(x,t)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {\pi n}{L}}x\right)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}$

Denne faktor giver en rotation i det komplekse plan, men ændrer ikke på de målbare størrelser.

De meste generelle løsninger til partiklen i en boks er dog lineære kombinationer af disse egentilstande:

$\Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\Psi _{n}(x,t)$

Hvis et system består af en lineær kombination, vil sandsynligheden $P$ for at måle energien $E_{n}$ være givet ved:^[1]

P(E_{n})=|c_{n}|^{2}

Eksempler på lineære kombinationer er givet i figuren.

Kildehenvisninger

^ ^a ^b ^c ^d ^e Griffiths, David J. "The infinite square well", Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 31-38. ISBN 978-1-292-02408-0.
^ Griffiths, David J. "The infinite square well", Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 29. ISBN 978-1-292-02408-0.

Spire

Denne artikel om fysik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

[Griffiths_31-1] Griffiths, David J. "The infinite square well", Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 31-38. ISBN 978-1-292-02408-0.

[Griffiths_29-2] Griffiths, David J. "The infinite square well", Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 29. ISBN 978-1-292-02408-0.

[1]

[2]

@@ Linje 6: / Linje 6: @@
 :<math>V(x) =
 \begin{cases}
-, & x_c-\tfrac{L}{2} < x <x_c+\tfrac{L}{2},\\
+, & 0 < x <L,\\
-\infty, & \text{otherwise,}
+\infty, & \text{ellers,}
 \end{cases},
 </math>
-hvor <math>L</math> er sidelængden, og <math>x_c</math> er midten. Dette er for én dimension <math>x</math>, men for flere dimensioner skal betingelsen blot gentages for hver dimension.<ref name="Griffiths 617">Griffiths, David J. "Gauss' Law", ''Introduction to Quantum Mechanics'' (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 31. ISBN 978-1-292-02408-0.</ref>
+hvor <math>L</math> er sidelængden. Dette er for én dimension (<math>x</math>), men for flere dimensioner skal betingelsen blot gentages for hver dimension.<ref name="Griffiths 31">Griffiths, David J. "The infinite square well", ''Introduction to Quantum Mechanics'' (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 31-38. ISBN 978-1-292-02408-0.</ref>
+== Løsningen i 1D ==
+For den én-dimensionelle boks er den tidsuafhængige Schrödinger-ligning:
+:<math>E \psi = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}  + V(\vec{x})\right) \psi</math>
+I boksen er potentialet 0, og ligningen kan derfor reduceres til:
+:<math>E \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}</math>
+Det uendelige potential kan implementeres ved at kræve at bølgefunktionen er 0 i siderne, da partiklen ikke kan forlade boksen:
+:<math>\psi(0)=\psi(L)=0</math>
+Dette er [[grænsebetingelse]]rne og gælder desuden generelt for [[stående bølge]]r.
+Det ses, at Schrödinger-ligningen er reduceret til [[differentialligning]]en for en [[bølge]]:
+:<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi</math>
+hvor den generelle løsning kan skrives som:
+:<math>\psi(x)=A\cos\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x\right)+B\sin\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x\right)</math>
+Hvis 0 sættes ind skal bølgefunktionen også være 0:
+:<math>\begin{align}0&=\psi(0)=A\cos\left(0\right)+B\sin(0)\\
+&=A\end{align}</math>
+[[Cosinus]]-funktionen falder altså ud:
+:<math>\psi(x)=B\sin\left(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x\right)</math>
+hvor faktoren foran <math>x</math> er [[bølgetal]]let <math>k</math>:
+:<math>k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}</math>
+Sammenhængen mellem bølgetal og [[bølgelængde]] <math>\lambda</math> er:
+:<math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>
+Efter <math>x=0</math> er sinusfunktionen 0 for hver halve bølgelængde. For at bølgefunktionen skal opfyldes grænsebetingelserne, skal det altså gælde, at:
+:<math>L=n\frac{\lambda}{2}</math>
+hvor <math>n</math> er et [[naturligt tal]], der angiver antallet af halve bølgelængder inden for <math>L</math>. Bølgetallet er dermed også givet ved:<ref name="Griffiths 31"/>
+:<math>k=\frac{\pi n}{L}</math>
+=== Energiniveauer ===
+Ved at sætte de to udtryk for bølgetallet lig hinanden
+:<math>\frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}=\frac{\pi n}{L}</math>
+kan partiklens energi bestemmes:
+{{Equation box 1
+|title=
+|indent=:
+|equation=<math>E_n=\frac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2mL^2}</math>
+|cellpadding = 6
+|border = 1
+|border colour = black
+|background colour=white}}
+Det ses, at der er et energiniveau for hver værdi af <math>n</math>. Da <math>n</math> kun kan antage diskrete værdier, kan <math>E_n</math> altså også kun antage diskrete værdier. Dette er stik imod det [[Klassisk mekanik|klassiske]] tilfælde, hvor en partikel kan have en hvilken som helst [[kinetisk energi]].<ref name="Griffiths 31"/>
+=== Bølgefunktionen ===
+Den tilsvarende bølgefunktion for <math>E_n</math> er:
+:<math>\psi_n(x)=B\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)</math>
+Dette skal normaliseres:
+:<math>\begin{align}1&=\int_0^L\psi_n^*(x)\psi_n(x)dx=|B|^2\int_0^L\sin^2\left(\frac{\pi n}{L}x\right)dx=\frac{|B|^2L}{2}\\
+|B|^2&=\frac{2}{L}\end{align}</math>
+Den simpleste løsning for <math>B</math> er bare [[Reelle tal|reel]]:
+:<math>B=\sqrt{\frac{2}{L}}</math>
+Altså er bølgefunktionen for <math>E_n</math>
+{{Equation box 1
+|title=
+|indent=:
+|equation=<math>\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)</math>
+|cellpadding = 6
+|border = 1
+|border colour = black
+|background colour=white}}
+Da hver bølgefunktion passer til en bestemt energi, kaldes de for energi-egentilstande. Tilstanden, hvor <math>n=1</math>, er
+grundtilstanden, mens de andre tilstande er eksiterede tilstande med højere energi.
+Den tidsafhængige løsningen for egentilstanden kan hurtigt findes ved at gange en faktor på:<ref name="Griffiths 31"/><ref name="Griffiths 29">Griffiths, David J. "The infinite square well", ''Introduction to Quantum Mechanics'' (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 29. ISBN 978-1-292-02408-0.</ref>
+{{Equation box 1
+|title=
+|indent=:
+|equation=<math>\Psi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi n}{L}x\right)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}</math>
+|cellpadding = 6
+|border = 1
+|border colour = black
+|background colour=white}}
+Denne faktor giver en rotation i det komplekse plan, men ændrer ikke på de målbare størrelser.
+De meste generelle løsninger til partiklen i en boks er dog lineære kombinationer af disse egentilstande:
+{{Equation box 1
+|title=
+|indent=:
+|equation=<math>\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\Psi_n(x,t)</math>
+|cellpadding = 6
+|border = 1
+|border colour = black
+|background colour=white}}
+Hvis et system består af en lineær kombination, vil sandsynligheden <math>P</math> for at måle energien <math>E_n</math> være givet ved:<ref name="Griffiths 31"/>
+:<math>P(E_n)=|c_n|^2</math>
+Eksempler på lineære kombinationer er givet i figuren.
 == Kildehenvisninger ==