Partikel i en boks

En partikel i en én-dimensionel boks. A) Partiklen i følge klassisk mekanik. B-F) Partiklen i følge kvantemekanik som beskrevet med bølgefunktionen. B-D) er energi-egentilstande, mens E-F) er kombinationer af egentilstande.

Partiklen i en boks eller den uendelige brønd er inden for kvantemekanikken den simpleste model for en partikel i et potentiale. Inden for et begrænset interval i rummet er potentialet fladt, men uden for dette interval er potentialet uendeligt, og partiklen kan således ikke slippe ud. Ved at løse Schrödinger-ligningen ses det, at partiklen kun kan antage diskrete energitilstande - et kendetegn ved kvantemekanikken.

Modellen danner udgangspunkt for at beskrive en fermigas.

Potentialet

Den uenelige brønd i én dimension. Fra 0 til $L$ er potentialet 0, mens det er uendeligt alle andre steder.

Potentialet $V$ er altså givet ved:

$V(x)={\begin{cases}0,&0<x<L,\\\infty ,&{\text{ellers,}}\end{cases}}$

hvor $L$ er sidelængden. Dette er for én dimension ($x$), men for flere dimensioner skal betingelsen blot gentages for hver dimension.

Løsningen i 1D

For den én-dimensionelle boks er den tidsuafhængige Schrödinger-ligning:

$E\psi =\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right)\psi$

I boksen er potentialet 0, og ligningen kan derfor reduceres til:

$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}$

Det uendelige potential kan implementeres ved at kræve at bølgefunktionen er 0 i siderne, da partiklen ikke kan forlade boksen:

$\psi (0)=\psi (L)=0$

Dette er grænsebetingelserne og gælder desuden generelt for stående bølger. Det ses, at Schrödinger-ligningen er reduceret til differentialligningen for en bølge:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi$

hvor den generelle løsning kan skrives som:

$\psi (x)=A\cos \left({\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}x\right)+B\sin \left({\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}x\right)$

Hvis 0 sættes ind skal bølgefunktionen også være 0:

${\begin{aligned}0&=\psi (0)=A\cos \left(0\right)+B\sin(0)\\0&=A\end{aligned}}$

Cosinus-funktionen falder altså ud:

$\psi (x)=B\sin \left({\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}x\right)$

hvor faktoren foran $x$ er bølgetallet $k$:

$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}$

Sammenhængen mellem bølgetal og bølgelængde $\lambda$ er:

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

Efter $x=0$ er sinusfunktionen 0 for hver halve bølgelængde. For at bølgefunktionen skal opfyldes grænsebetingelserne, skal det altså gælde, at:

$L=n{\frac {\lambda }{2}}$

hvor $n$ er et naturligt tal, der angiver antallet af halve bølgelængder inden for $L$. Bølgetallet for et bestemt $n$ er dermed givet ved:

$k_{n}={\frac {\pi n}{L}}$

Energiniveauer

Partiklens energi som funktion i bølgetal. De sorte punkter er for partiklen i en boks, mens den grå linje er for den frie partikel, der kan antage en hvilken som helst energi.

Energien er altså givet ved:

$E_{n}={\frac {\hbar ^{2}{k_{n}}^{2}}{2m}}$

eller ved at indsætte udtrykket for $k_{n}$ :

$E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}$

Det ses, at der er et energiniveau for hver værdi af $n$. Da $n$ kun kan antage diskrete værdier, kan $E_{n}$ altså også kun antage diskrete værdier. Dette er stik imod det klassiske tilfælde, hvor en partikel kan have en hvilken som helst kinetisk energi.

Bølgefunktionen

Den tilsvarende bølgefunktion for $E_{n}$ er:

$\psi _{n}(x)=B\sin \left({\frac {\pi n}{L}}x\right)$

Dette skal normaliseres:

${\begin{aligned}1&=\int _{0}^{L}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(x)dx=|B|^{2}\int _{0}^{L}\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{L}}x\right)dx={\frac {|B|^{2}L}{2}}\\|B|^{2}&={\frac {2}{L}}\end{aligned}}$

Den simpleste løsning for $B$ er bare reel:

$B={\sqrt {\frac {2}{L}}}$

Altså er bølgefunktionen for $E_{n}$

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {\pi n}{L}}x\right)$

Da hver bølgefunktion passer til en bestemt energi, kaldes de for energi-egentilstande. Tilstanden, hvor $n=1$, er grundtilstanden, mens de andre tilstande er eksiterede tilstande med højere energi.

Den tidsafhængige løsningen for egentilstanden kan hurtigt findes ved at gange en faktor på:

$\Psi _{n}(x,t)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {\pi n}{L}}x\right)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}$

Denne faktor giver en rotation i det komplekse plan, men ændrer ikke på de målbare størrelser.

De meste generelle løsninger til partiklen i en boks er dog lineære kombinationer af disse egentilstande:

$\Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\Psi _{n}(x,t)$

Hvis et system består af en lineær kombination, vil sandsynligheden $P$ for at måle energien $E_{n}$ være givet ved:

$P(E_{n})=|c_{n}|^{2}$

Eksempler på lineære kombinationer er givet i figuren.

Kildehenvisninger

Spire Denne artikel om fysik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.