Partikel i en boks: Forskelle mellem versioner
Inc (diskussion | bidrag) →Bølgefunktionen: Skriver eksplicit, at bølgefunktionen er 0 udenfor boksen. Tag: 2017-kilderedigering |
Inc (diskussion | bidrag) m →Bølgefunktionen: typo Tag: 2017-kilderedigering |
||
Linje 85: | Linje 85: | ||
[[Fil:1D Wavefunctions with Energies.svg|thumb|right|300px|De tidsuafhængige løsninger for de tre laveste energiniveauer. Det ses, at bølgelængden bliver kortere for hver energitilstand.]] |
[[Fil:1D Wavefunctions with Energies.svg|thumb|right|300px|De tidsuafhængige løsninger for de tre laveste energiniveauer. Det ses, at bølgelængden bliver kortere for hver energitilstand.]] |
||
Inden den tidsafhængige løsning findes, kan |
Inden den tidsafhængige løsning findes, kan bølgefunktionens [[symmetri]] undersøges lidt nærmere. Hvis koordinaterne flyttes, så <math>x=0</math> er midten af boksen |
||
:<math>x \rightarrow x+\frac{L}{2}</math> |
:<math>x \rightarrow x+\frac{L}{2}</math> |
||
er bølgefunktionen nemlig: |
er bølgefunktionen nemlig: |
Versionen fra 10. dec. 2019, 00:56
Partiklen i en boks eller den uendelige brønd er inden for kvantemekanikken den simpleste model for en partikel i et potentiale. Inden for et begrænset interval i rummet er potentialet fladt, men uden for dette interval er potentialet uendeligt, og partiklen kan således ikke slippe ud. Ved at løse Schrödinger-ligningen ses det, at partiklen kun kan antage diskrete energitilstande - et kendetegn ved kvantemekanikken.
Modellen danner udgangspunkt for at beskrive en fermigas.[1]
Potentialet
Potentialet er altså givet ved:
hvor er sidelængden. Dette er for én dimension (), men for flere dimensioner skal betingelsen blot gentages for hver dimension.[2]
Løsningen i 1D
For den én-dimensionelle boks er den tidsuafhængige Schrödinger-ligning:
I boksen er potentialet 0, og ligningen kan derfor reduceres til:
Det uendelige potential kan implementeres ved at kræve at bølgefunktionen er 0 i siderne, da partiklen ikke kan forlade boksen:
Dette er grænsebetingelserne og gælder desuden generelt for stående bølger. Det ses, at Schrödinger-ligningen er reduceret til differentialligningen for en bølge:
hvor den generelle løsning kan skrives som:
Hvis 0 sættes ind skal bølgefunktionen også være 0:
Cosinus-funktionen falder altså ud:
hvor faktoren foran er bølgetallet :
Sammenhængen mellem bølgetal og bølgelængde er:
Efter er sinusfunktionen 0 for hver halve bølgelængde. For at bølgefunktionen skal opfyldes grænsebetingelserne, skal det altså gælde, at:
hvor er et naturligt tal, der angiver antallet af halve bølgelængder inden for . Bølgetallet for et bestemt er dermed givet ved:[2]
Energiniveauer
Energien er altså givet ved:
eller ved at indsætte udtrykket for :
Det ses, at der er et energiniveau for hver værdi af . Da kun kan antage diskrete værdier, kan altså også kun antage diskrete værdier. Dette er stik imod det klassiske tilfælde, hvor en partikel kan have en hvilken som helst kinetisk energi.[2]
Bølgefunktionen
Den tilsvarende bølgefunktion for er:
Dette skal normaliseres:
Den simpleste løsning for er bare reel:
Altså er bølgefunktionen for
hvor det her er skrevet eksplicit, at bølgefunktionen er 0 uden for boksen. Da hver bølgefunktion passer til en bestemt energi, kaldes de for energi-egentilstande. Tilstanden, hvor , er grundtilstanden, mens de andre tilstande er exciterede tilstande med højere energi.
Inden den tidsafhængige løsning findes, kan bølgefunktionens symmetri undersøges lidt nærmere. Hvis koordinaterne flyttes, så er midten af boksen
er bølgefunktionen nemlig:
For hver stigning i bliver bølgen rykket med en kvart fase og er derved en cosinus-funktion for ulige , men en sinus-funktion for lige .
Dvs. at bølgefunktionen skifter mellem at være symmetrisk og antisymmetrisk omkring midten af brønden. Om dette har fysisk betydning er beskrevet i afsnittet om sandsynlighedsfordelingen.
Denne korte bemærkning om symmetri forlades nu, og den tidsafhængige løsningen for egentilstanden kan findes. En faktor ganges på den tidsuafhængige løsning:[2][3]
Denne faktor er tidsafhængig og giver en rotation i det komplekse plan.
De meste generelle løsninger til partiklen i en boks er dog lineære kombinationer af disse egentilstande:
Hvis et system består af en lineær kombination, vil sandsynligheden for at måle energien være givet ved:[2]
Eksempler på lineære kombinationer er givet i figuren.
Sandsynlighedstætheden
Sandsynlighedstætheden i forhold til position er nu givet ved:
For egentilstandene
For energi-egentilstandene giver dette:
Det ses, at sandsynlighedstætheden er uafhængig af tiden:
Selvom bølgefunktionen er kompleks med mulighed for at være negativ, er sandsynlighedstætheden altså reel og aldrig negativ. Desuden er sandsynlighedstætheden altid symmetrisk; dette giver også mening, da boksen er symmetrisk.
Generelt
For en lineær kombination af egentilstandene er sandsynlighedsfordelingen generelt:
Det ses, at den tidsafhængig faktor ikke forsvinder for led, hvor . Generelt kan sandsynlighedsfordelingen altså godt ændre sig over tid, når partiklen ikke er i en energi-egentilstand.[2]
Kildehenvisninger
- ^ Griffiths, David J. "Solids", Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 221-224. ISBN 978-1-292-02408-0.
- ^ a b c d e f Griffiths, David J. "The infinite square well", Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 31-41. ISBN 978-1-292-02408-0.
- ^ Griffiths, David J. "Stationary states", Introduction to Quantum Mechanics (2. udgave), Pearson Educated Limited, 2014, s. 29. ISBN 978-1-292-02408-0.
Spire Denne artikel om fysik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den. |