Integralregning: Forskelle mellem versioner

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Content deleted Content added
MacApps (diskussion | bidrag)
m begreb er tilføjet
MacApps (diskussion | bidrag)
kilder tilføjet
Linje 1: Linje 1:
{{Ingen kilder|dato=marts 2018}}
{{Ingen kilder|dato=marts 2018}}
'''Integralregning''' udgør inden for [[matematik]]ken sammen med [[differentialregning]] den såkaldte [[infinitesimalregning]]. Integraler er basalt set en udvidelse af summering, idet man summerer uendeligt mange, uendeligt små (infinitesimale) dele. Således kan man f.eks. finde et areal ved opdeling i uendeligt små firkanter (arealelementer), og summere disse op.<ref>Herman & Strang (2016) s. 15</ref> Et andet eksempel er at beskrive den samlede ændring i en [[matematisk funktion]], ud fra viden om hvor hurtigt denne ændrer sig (f.eks. til et givet tidspunkt eller sted).
'''Integralregning''' udgør inden for [[matematik]]ken sammen med den modsatte regneart [[differentialregning]] den såkaldte [[infinitesimalregning]]. Integraler er basalt set en udvidelse af summering, idet man summerer uendeligt mange, uendeligt små (infinitesimale) dele.<ref>https://www.mathematik.de/algebra/81-erste-hilfe/analysis/integration/1647-die-begriffe-der-integralrechnung</ref> Således kan man f.eks. finde et areal ved opdeling i uendeligt små firkanter (arealelementer), og summere disse op.<ref>Herman & Strang (2016) s. 15</ref> Et andet eksempel er at beskrive den samlede ændring i en [[matematisk funktion]], ud fra viden om hvor hurtigt denne ændrer sig (f.eks. til et givet tidspunkt eller sted).


== Eksempler ==
== Eksempler ==
Linje 22: Linje 22:
At integrere mht. en bestemt variabel modsvarer at [[differentiere]] mht. samme variabel, sådan at <math>f(t)=\frac{d}{dt}\int f(t) dt</math>; og da man definerer ''fart'' som [[differentialkvotient]]en af stedfunktionen mht. tid, følger det, at stedfunktionen er en [[stamfunktion]]<ref>https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/integralregning.pdf</ref> til fartfunktionen mht. tid.
At integrere mht. en bestemt variabel modsvarer at [[differentiere]] mht. samme variabel, sådan at <math>f(t)=\frac{d}{dt}\int f(t) dt</math>; og da man definerer ''fart'' som [[differentialkvotient]]en af stedfunktionen mht. tid, følger det, at stedfunktionen er en [[stamfunktion]]<ref>https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/integralregning.pdf</ref> til fartfunktionen mht. tid.


Tegnet ''∫'' til venstre kaldes det lange ''s'' eller, når det bruges i forbindelse med integralregning, et ''integraltegn''. Det var oprindeligt en skrivemåde for et ''s'', der ikke afslutter et ord, og brugtes første gang til integralregning af [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] baseret på det latinske ord ''summa'' "sum". Funktionen <math>f(x)</math> kaldes integranden og ''dt'' angiver, at ''t'' er den uafhængige variabel, altså den variabel der integreres ''med hensyn til''.
Tegnet ''∫'' til venstre kaldes det lange ''s'' eller, når det bruges i forbindelse med integralregning, et ''integraltegn''. Det var oprindeligt en skrivemåde for et ''s'', der ikke afslutter et ord, og brugtes første gang til integralregning af [[Gottfried Wilhelm Leibniz]]<ref>https://www.mathe-online.at/mathint/int/i.html</ref><ref>https://www.mathematik.de/leseecke/geschichte/907-die-geschichte-des-prioritaetsstreits-zwischen-leibniz-und-newton</ref> baseret på det latinske ord ''summa'' "sum". Funktionen <math>f(x)</math> kaldes integranden og ''dt'' angiver, at ''t'' er den uafhængige variabel, altså den variabel der integreres ''med hensyn til''.


Det ubestemte integral er en ny funktion af samme variabel som den oprindelige funktion (''t'' i eksemplet). Denne nye funktion kan nu bruges til at beregne de ''bestemte integraler''.
Det ubestemte integral er en ny funktion af samme variabel som den oprindelige funktion (''t'' i eksemplet). Denne nye funktion kan nu bruges til at beregne de ''bestemte integraler''.
Linje 38: Linje 38:
== Arealet under en kurve ==
== Arealet under en kurve ==
Hvis man tegner [[graf]]en til en funktion og vælger et [[interval (matematik)|interval]] som beskrevet ovenfor,<ref>http://www.mat1.dk/integralregning_for_a_niveau_i_stx.pdf</ref> kan man markere intervallet på [[graf]]en som to linjer parallelt med [[koordinatsystem]]ets [[ordinatakse]]:<ref>http://web.math.ku.dk/~erhansen/doedePencasts15/Integralregning%202.pdf</ref> Nu vil arealet mellem [[graf]]en, [[abscisseakse]]n og de to [[interval (matematik)|intervalgrænser]] være lig med funktionens bestemte integral for samme interval.<ref>http://www.mat1.dk/integralregning_for_gymnasiet_og_hf.pdf</ref>
Hvis man tegner [[graf]]en til en funktion og vælger et [[interval (matematik)|interval]] som beskrevet ovenfor,<ref>http://www.mat1.dk/integralregning_for_a_niveau_i_stx.pdf</ref> kan man markere intervallet på [[graf]]en som to linjer parallelt med [[koordinatsystem]]ets [[ordinatakse]]:<ref>http://web.math.ku.dk/~erhansen/doedePencasts15/Integralregning%202.pdf</ref> Nu vil arealet mellem [[graf]]en, [[abscisseakse]]n og de to [[interval (matematik)|intervalgrænser]] være lig med funktionens bestemte integral for samme interval.<ref>http://www.mat1.dk/integralregning_for_gymnasiet_og_hf.pdf</ref>

Arealet på figuren ovenfor beregnes sådan:<ref>https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/integralregning.pdf</ref> A = F(b) - F(a)<ref>http://www.mat1.dk/integralregning_for_a_niveau_i_stx.pdf</ref>


== Se også ==
== Se også ==
*[[Henri Léon Lebesgue]]
*[[Henri Léon Lebesgue]]
*[[Delvis integration]] (herunder integration ved substitution)
*[[Kurveintegral]]
*[[Kurveintegral]]
*[[Overfladeintegral]]
*[[Overfladeintegral]]
Linje 52: Linje 55:
* [[TI-92]] beregner ubestemt integrale med kommandoen: ∫(funktion,x)<ref name=":0" />
* [[TI-92]] beregner ubestemt integrale med kommandoen: ∫(funktion,x)<ref name=":0" />
* [[Xcas]] beregner ubestemt integrale med kommandoen: int(funktion,x)<ref>http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf</ref>
* [[Xcas]] beregner ubestemt integrale med kommandoen: int(funktion,x)<ref>http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf</ref>

<br />
== Bøger ==
== Bøger ==


* Jensen, Steffen og Sørensen, Karin (1989): “''Differentialregning: En lærebog for matematisk gymnasium. Teori og redskab, 3''.” København, Christian Ejlers Forlag. ISBN: 7-7241-557-6
* Hebsgaard, Thomas m.fl. (1989) ''Matematik Grundbog 2''. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-13-2
* Hebsgaard, Thomas m.fl. (1989) ''Matematik Grundbog 2''. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-13-2
* Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): ''Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren''. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7
* Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): ''Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren''. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7
* Jessen, Claus m.fl. (1995): “''Differentialregning: gymnasiematematik, obligatorisk niveau. Matematik - tanke, sprog og redskab''.” København, Gyldendal Undervisning. ISBN: 87-00-19936-2


=== PDF ===
=== PDF ===


* Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 3 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN-13: 978-1-50669-805-2. (online) URL: <nowiki>https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume3-OP_n7Nj74c.pdf</nowiki>
* Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 3 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN-13: 978-1-50669-805-2. (online) URL: <nowiki>https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume3-OP_n7Nj74c.pdf</nowiki>

<br />
== Eksterne links ==
== Eksterne links ==
{{Commonscat|Integral calculus}}
{{Commonscat|Integral calculus}}

Versionen fra 27. jun. 2020, 17:24

Integralregning udgør inden for matematikken sammen med den modsatte regneart differentialregning den såkaldte infinitesimalregning. Integraler er basalt set en udvidelse af summering, idet man summerer uendeligt mange, uendeligt små (infinitesimale) dele.[1] Således kan man f.eks. finde et areal ved opdeling i uendeligt små firkanter (arealelementer), og summere disse op.[2] Et andet eksempel er at beskrive den samlede ændring i en matematisk funktion, ud fra viden om hvor hurtigt denne ændrer sig (f.eks. til et givet tidspunkt eller sted).

Eksempler

For at forstå hvad integraler er, kan man forestille sig en person som dagligt kører i bil til og fra sit job: På et tidspunkt får han/hun brug for at vide hvor lang ruten mellem hjem og arbejdsplads er, men desværre er bilens kilometertæller (og evt. triptæller) i uorden. Men speedometeret fungerer (og viser endda ganske nøjagtigt), så med lidt tidtagning kan man, omend med nogen usikkerhed, beregne den kørte distance således:
10 minutters by-kørsel (50 km/t) ud til motorvejen giver 8,3 km; 20 minutter på motorvej (110 km/t) giver 36,7 km, og til sidst yderligere 15 minutters by-kørsel ved 50 km/t, som giver 12,5 km. I alt 57,5 km.
Men farten er næppe, som regnestykket forudsætter, konstant; især ikke ved kørsel i byer, så for at få andet end et "løst overslag" ud af metoden med fart og tidsrum, burde denne bilist have en assistent med sig på turen, som med så korte intervaller som muligt kunne notere farten fra speedometeret, og tage tid på hvert interval. Jo kortere intervallerne kan gøres, desto mere præcist bliver det endelige resultat for hele rutens længde.

Hvis man kan skrive et regneudtryk, der præcist fortæller hvad bilens fart var til et tidspunkt t minutter inde i køreturen, kan man ved hjælp af integralregning beregne den kørte distance helt præcist: Løser man ovenstående opgave ved at integrere regneudtrykket for bilens fart, svarer det til at føromtalte assistent noterede den øjeblikkelige hastighed i uendeligt mange, uendeligt små tidsintervaller.

For et mere formelt eksempel, betragt da en funktion defineret i et lukket interval . er kontinuert og .

Nu inddeles i n stykker, hver af længden . I hvert af intervallerne vælges tilfældigt en x-værdi Til hvert interval hører nu et rektangel med arealet Summen af disse rektangler, , er en approksimation af arealet der afgrænses af grafen for , x-aksen samt de to lodrette linjer defineret ved og . Efterhånden som , vil , og summen af rektanglernes areal bliver en stedse bedre approksimation for førnævnte areal. Med denne motivation kan man definere det bestemte integral af f i intervallet [a, b] som

Bestemte og ubestemte integraler

Man skelner mellem to måder at bruge integraler på: hhv. bestemte og ubestemte integraler.[3]

Ubestemt integral

Viser det bestemte integral i intervallet fra a til b af en funktion som arealet under kurven.

I eksemplet med bilen kan man, ud fra den funktion der beskriver bilens fart til ethvert tidspunkt t under kørslen, beregne den tilbagelagte strækning som det ubestemte integral af fartfunktionen. Hvis fartfunktionen hedder f(t), skrives det ubestemte integral heraf som:

At integrere mht. en bestemt variabel modsvarer at differentiere mht. samme variabel, sådan at ; og da man definerer fart som differentialkvotienten af stedfunktionen mht. tid, følger det, at stedfunktionen er en stamfunktion[4] til fartfunktionen mht. tid.

Tegnet til venstre kaldes det lange s eller, når det bruges i forbindelse med integralregning, et integraltegn. Det var oprindeligt en skrivemåde for et s, der ikke afslutter et ord, og brugtes første gang til integralregning af Gottfried Wilhelm Leibniz[5][6] baseret på det latinske ord summa "sum". Funktionen kaldes integranden og dt angiver, at t er den uafhængige variabel, altså den variabel der integreres med hensyn til.

Det ubestemte integral er en ny funktion af samme variabel som den oprindelige funktion (t i eksemplet). Denne nye funktion kan nu bruges til at beregne de bestemte integraler.

Bestemt integral

Når man har fundet det ubestemte integral af et regneudtryk, kan man beregne bestemte integraler. I eksemplet med bilen svarer det til at beregne hvor stor en del af hele strækningen der blev tilbagelagt inden for bestemte tidsintervaller. For eksempel: Hvor mange af de i alt 57,5 km bliver tilbagelagt inden for de første fem minutters bykørsel efter motorvejen? Hvis man har fundet det ubestemte integral af fartfunktionen som en ny funktion F(t), sådan at:

kan man svare på spørgsmålet om de første 5 minutter efter motorvejen (30 til 35 minutter efter starten):

Bemærk skrivemåden med de to tal (30 og 35) der afgrænser det relevante interval skrevet ved integraltegnet. Har man et regneudtryk for F(t), kan man således løse opgaven for vilkårlige tidsintervaller.

Bemærk, at et bestemt integral er et tal – i eksemplet med bilen, den strækning der køres inden for 5 minutter efter motorvejen forlades – mens et ubestemt integral altid er en funktion.

Arealet under en kurve

Hvis man tegner grafen til en funktion og vælger et interval som beskrevet ovenfor,[7] kan man markere intervallet på grafen som to linjer parallelt med koordinatsystemets ordinatakse:[8] Nu vil arealet mellem grafen, abscisseaksen og de to intervalgrænser være lig med funktionens bestemte integral for samme interval.[9]

Arealet på figuren ovenfor beregnes sådan:[10] A = F(b) - F(a)[11]

Se også

Computer Algera System (CAS)

Lommeregnere og matematisk software med CAS kan beregne integraler:

  • Maple beregner ubestemt integrale med kommandoen: ∫(funktion,x)[12]
  • TI-89 beregner ubestemt integrale med kommandoen: ∫(funktion,x)[13]
  • TI-92 beregner ubestemt integrale med kommandoen: ∫(funktion,x)[13]
  • Xcas beregner ubestemt integrale med kommandoen: int(funktion,x)[14]

Bøger

  • Jensen, Steffen og Sørensen, Karin (1989): “Differentialregning: En lærebog for matematisk gymnasium. Teori og redskab, 3.” København, Christian Ejlers Forlag. ISBN: 7-7241-557-6
  • Hebsgaard, Thomas m.fl. (1989) Matematik Grundbog 2. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-13-2
  • Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. ISBN 87-7351-287-7
  • Jessen, Claus m.fl. (1995): “Differentialregning: gymnasiematematik, obligatorisk niveau. Matematik - tanke, sprog og redskab.” København, Gyldendal Undervisning. ISBN: 87-00-19936-2

PDF

  • Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 3 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN-13: 978-1-50669-805-2. (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume3-OP_n7Nj74c.pdf

Eksterne links

Referencer

  1. ^ https://www.mathematik.de/algebra/81-erste-hilfe/analysis/integration/1647-die-begriffe-der-integralrechnung
  2. ^ Herman & Strang (2016) s. 15
  3. ^ http://www.mat1.dk/integralregning_for_a_niveau_i_stx.pdf
  4. ^ https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/integralregning.pdf
  5. ^ https://www.mathe-online.at/mathint/int/i.html
  6. ^ https://www.mathematik.de/leseecke/geschichte/907-die-geschichte-des-prioritaetsstreits-zwischen-leibniz-und-newton
  7. ^ http://www.mat1.dk/integralregning_for_a_niveau_i_stx.pdf
  8. ^ http://web.math.ku.dk/~erhansen/doedePencasts15/Integralregning%202.pdf
  9. ^ http://www.mat1.dk/integralregning_for_gymnasiet_og_hf.pdf
  10. ^ https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/integralregning.pdf
  11. ^ http://www.mat1.dk/integralregning_for_a_niveau_i_stx.pdf
  12. ^ https://www.maplesoft.com/documentation_center/maple18/usermanual.pdf
  13. ^ a b https://education.ti.com/en/guidebook/details/en/2110B5BC591D44E1AF4C28F00A6614B6/8992p
  14. ^ http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf