Tællemålet: Forskelle mellem versioner
Pred (diskussion | bidrag) m sprog |
Pred (diskussion | bidrag) m linkret |
||
Linje 3: | Linje 3: | ||
Formelt fremkommer tællemålet ved betragtning af en mængde Ω sammen med [[sigma-algebra|σ-algebra]]en ''P''(''Ω'') bestående af [[potensmængde|alle delmængder af Ω]]. Betegnes tællemålet ''μ'' defineres nu, for ''A'' i ''P''(''Ω''), ''μ''(''A'') = #(''A'') = antal elementer i ''A''. Herved bliver (Ω,''P''(Ω),''μ'') et [[målrum]]. Målet kan vises at være endeligt hhv. [[Sigma-endeligt mål|σ-endeligt]], Ω er en endelig hhv. højst tællelig mængde. |
Formelt fremkommer tællemålet ved betragtning af en mængde Ω sammen med [[sigma-algebra|σ-algebra]]en ''P''(''Ω'') bestående af [[potensmængde|alle delmængder af Ω]]. Betegnes tællemålet ''μ'' defineres nu, for ''A'' i ''P''(''Ω''), ''μ''(''A'') = #(''A'') = antal elementer i ''A''. Herved bliver (Ω,''P''(Ω),''μ'') et [[målrum]]. Målet kan vises at være endeligt hhv. [[Sigma-endeligt mål|σ-endeligt]], Ω er en endelig hhv. højst tællelig mængde. |
||
Tællemålet tillader en at oversætte mange resultater om generelle [[Lp |
Tællemålet tillader en at oversætte mange resultater om generelle [[Lp (matematik)|''L''<sup>''p''</sup>-rum]], såsom [[Cauchy-Schwarz' ulighed]], [[Hölders ulighed]] eller [[Minkowskis ulighed]], til mere velbevandrede rammer. Hvis Ω = {1,...,''n''}, og ''S'' = (Ω, ''P''(Ω), μ) er målrummet med tællemålet ''μ'' på ''P''(Ω), så er ''L''<sup>''p''</sup>(''S'') blot det samme rum som '''R'''<sup>''n''</sup> (eller '''C'''<sup>''n''</sup>) med [[Norm (matematik)|norm]] defineret ved |
||
:<math>\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p}</math> |
:<math>\|x\|_p = \biggl ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \biggr )^{1/p}</math> |
||
for ''x'' = (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) i rummet. Ved på et endeligt rum at dividere tællemålet med antallet af elementer i ''P''(Ω) opnås den [[diskret uniform fordeling|diskrete uniforme fordeling]]. |
for ''x'' = (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) i rummet. Ved på et endeligt rum at dividere tællemålet med antallet af elementer i ''P''(Ω) opnås den [[diskret uniform fordeling|diskrete uniforme fordeling]]. |
Versionen fra 19. dec. 2007, 02:20
I matematik er tællemålet en intuitiv måde at måle en mængde: "Størrelsen" eller "målet" af en delmængde tages til at være antallet af delmængdens elementer, hvis dette er endeligt, og ∞ hvis delmængden indeholder uendeligt mange elementer.
Formelt fremkommer tællemålet ved betragtning af en mængde Ω sammen med σ-algebraen P(Ω) bestående af alle delmængder af Ω. Betegnes tællemålet μ defineres nu, for A i P(Ω), μ(A) = #(A) = antal elementer i A. Herved bliver (Ω,P(Ω),μ) et målrum. Målet kan vises at være endeligt hhv. σ-endeligt, Ω er en endelig hhv. højst tællelig mængde.
Tællemålet tillader en at oversætte mange resultater om generelle Lp-rum, såsom Cauchy-Schwarz' ulighed, Hölders ulighed eller Minkowskis ulighed, til mere velbevandrede rammer. Hvis Ω = {1,...,n}, og S = (Ω, P(Ω), μ) er målrummet med tællemålet μ på P(Ω), så er Lp(S) blot det samme rum som Rn (eller Cn) med norm defineret ved
for x = (x1, ..., xn) i rummet. Ved på et endeligt rum at dividere tællemålet med antallet af elementer i P(Ω) opnås den diskrete uniforme fordeling.
Hvis tilsvarende fås, hvis Ω tages til at være de naturlige tal, og S som før er målrummet med tællemålet, at Lp(S) er rummet af alle følger x = (xn) for hvilke
er endelig. Dette rum betegnes ofte .
Tællemålet på tællelige mængder kan også bruges til at anvende resultater fra Lebesgueintegralteorien (såsom sætningen om monoton konvergens, Fatous lemma, sætningen om domineret konvergens, Fubinis sætning, osv.) på rækker.