Induktion (matematik)

Induktion er en bestemt type matematisk bevis, som er meget velegnet til at bevise at en matematisk hypotese er sand for alle naturlige tal, eller andre talmængder, som er velordnet.

Induktionsprincippet består af 2 skridt: basisskridtet (induktionsstarten, startbetingelsen) og induktionsskridtet.

1. Basisskridt: I basisskridtet beviser man at hypotesen er sand ved det mindste tal i talmængden. Dette er typisk 1, da man ofte vil bevise sætningen for de naturlige tal.
2. Induktionsskridt: I induktionsskridtet beviser man, at hvis hypotesen gælder for tallet n (denne antagelse kaldes induktionsantagelsen), så gælder den også for tallet n+1.

På denne måde kan man bevise at hypotesen gælder for alle hele tal fra basisskridtet og opefter. Hvis tilfælde 1 er sand, så er tilfælde 2 også sand, da tilfælde 1 er sand. Så er 3 også sand, når 2 er sand, osv.

Dette princip kan sammelignes med dominoeffekten. Hvis du har en lang række dominobrikker stående efter hinanden, kan du udlede følgende:

1. Basisskridt: Den første dominobrik vælter.
2. Induktionsskridt: Når en dominobrik vælter, vil den næste vælte.

Derfor vil alle dominobrikker vælte.

Eksempel

Vi ønsker at bevise følgende sætning med induktionsmetoden:

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2},\qquad n\in N.$

Først beviser vi at basisskridtet er sand, dvs. at sætningen er sand ved n=1:

$\sum _{i=1}^{1}(2i-1)=2\cdot 1-1=1=1^{2}.$

Vi har hermed bevist at sætningen er sand, hvis n er 1. Vi vil nu bevise induktionsskridtet ved at bevise, at hvis sætningen gælder for n, dvs. at hvis

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2},$

så gælder den også for n+1. Vi skal altså vise følgende ligning:

$\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)=(n+1)^{2}.$

Først skiller vi udtrykket lidt ad:

$\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)+(2(n+1)-1).$

Vi bruger nu vores induktionsantagelse til at regne videre og får, at

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)+(2(n+1)-1)=n^{2}+(2(n+1)-1).$

Så ganger vi parenteserne ud og reducerer:

$n^{2}+(2(n+1)-1)=n^{2}+(2n+2-1)=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}.$

Vi har hermed bevist induktionsskridtet.

Basisskridtet og induktionsskridtet beviser i fællesskab, at sætningen gælder for alle de naturlige tal.