Eksponentiel udvikling: Forskelle mellem versioner
Solange (diskussion | bidrag) No edit summary |
m WikiProjekt Check Wikipedia html entity fixes ved brug af AWB |
||
Linje 6: | Linje 6: | ||
* Temperaturforskellen mellem f.eks. en varm småkage og den konstante stuetemperatur omkring den aftager eksponentielt med tiden. |
* Temperaturforskellen mellem f.eks. en varm småkage og den konstante stuetemperatur omkring den aftager eksponentielt med tiden. |
||
*Udskillelsen af lægemidler følger ofte en eksponentialfunktion, således at man også her taler om halveringstid. Se [[farmakokinetik]]. |
*Udskillelsen af lægemidler følger ofte en eksponentialfunktion, således at man også her taler om halveringstid. Se [[farmakokinetik]]. |
||
==Matematikken i en eksponentiel udvikling== |
==Matematikken i en eksponentiel udvikling== |
||
[[Billede:Eksponentiel.png|thumb|Eksponentielt voksende (blå) og aftagende (rød) udvikling]] |
[[Billede:Eksponentiel.png|thumb|Eksponentielt voksende (blå) og aftagende (rød) udvikling]] |
||
Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling således:<br> |
Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling således:<br> |
||
''y'' = ''b'' |
''y'' = ''b'' · ''a<sup>x</sup>''<br> |
||
hvor |
hvor |
||
* ''x'' er den uafhængige variabel (som regel målt i tid). |
* ''x'' er den uafhængige variabel (som regel målt i tid). |
||
Linje 25: | Linje 23: | ||
<math>a = 2^{\frac{1}{T2}} \Leftrightarrow T2=\frac{\ln 2}{\ln a}</math><br> |
<math>a = 2^{\frac{1}{T2}} \Leftrightarrow T2=\frac{\ln 2}{\ln a}</math><br> |
||
Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:<br> |
Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:<br> |
||
<math>a = \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T1/2}} \Leftrightarrow T1/2=\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln a}</math |
<math>a = \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T1/2}} \Leftrightarrow T1/2=\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln a}</math> |
||
Hvis man vil isolere x i ligningen for eksponentiel udvikling, vil den komme til at se sådan ud: |
Hvis man vil isolere x i ligningen for eksponentiel udvikling, vil den komme til at se sådan ud: |
Versionen fra 17. maj 2009, 13:11
En eksponentiel udvikling er en slags matematisk model, som kan bruges til at beskrive forskellige sammenhænge; typisk hvordan bestemte ting forandrer sig med tiden: Specielt for eksponentielle udviklinger gælder, at målt hen over lige store tidsintervaller stiger eller falder den (tids-)afhængige variabel med lige store forholdstal.
Her er nogle eksempler på fænomener, der følger (eller kan følge) en eksponentiel udvikling:
- "Renters rente" er et klassisk eksempel på en eksponentiel udvikling: Placerer man én gang for alle nogle penge et sted, hvor man kan forvente en konstant rente, vil saldoen som følge af renterne være eksponentielt voksende.
- Hvis fødselsraten i en befolkning ligger højere eller lavere end, hvad der er nødvendigt for at opretholde et konstant befolkningstal, vil befolkningstallet (til at begynde med) følge en eksponentielt voksende eller aftagende udvikling.
- Strålingen fra en prøve af et radioaktivt stof (som henfalder til en stabil isotop) vil aftage eksponentielt over tid. Hvor hurtigt strålingen aftager, beskrives ofte ved den såkaldte halveringstid.
- Temperaturforskellen mellem f.eks. en varm småkage og den konstante stuetemperatur omkring den aftager eksponentielt med tiden.
- Udskillelsen af lægemidler følger ofte en eksponentialfunktion, således at man også her taler om halveringstid. Se farmakokinetik.
Matematikken i en eksponentiel udvikling
Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling således:
y = b · ax
hvor
- x er den uafhængige variabel (som regel målt i tid).
- y er den afhængige variabel.
- a er det forholdstal som y ændrer sig med, når x stiger eller falder med 1: Hvis a < 1 er y eksponentielt aftagende, hvis a > 1 er den eksponentielt voksende, og hvis a = 1 er y konstant.
- b er den størrelse y har når x er lig med nul.
En eksponentiel udvikling kan beskrives ved de to tal a og b: Givet disse tal kan man med ovenstående regneudtryk svare på spørgsmål om, hvor stor den undersøgte størrelse y var eller vil være til et givent tidspunkt x. Med lidt omregning kan man tilsvarende bestemme, hvornår y når eller nåede en bestemt værdi.
Givet to sammenhørende par af x og y (f.eks. oplysninger om et eksponentielt voksende indbyggertal to givne, forskellige år) kan man bestemme værdierne af a og b og derefter bruge formlen til at fremsætte prognoser som beskrevet ovenfor.
Størrelsen af a er somme tider givet indirekte i form af et (for voksende eksponentielle udviklinger) fordoblings- eller (for aftagende udviklinger) halveringstal (eller -konstant): Dette er et udtryk for, hvor stor ændring i den uafhængige variabel x der "skal til" for at få fordoblet hhv. halveret den afhængige variabel y.
Hvis fordoblingstallet eller fordoblingstiden kaldes for T2, gælder:
Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:
Hvis man vil isolere x i ligningen for eksponentiel udvikling, vil den komme til at se sådan ud: