Indre produkt

Et indre produkt er i matematikken en funktion f: V×V → R hhv. f: V×V → C, hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien f(u, v) skrives dog normalt ⟨u, v⟩.

Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

1. Bilineær: ⟨ru + sv, w⟩ = r⟨u,w⟩ + s⟨v, w⟩ og ⟨u, rv + sw⟩ = r⟨u,v⟩ + s⟨u, w⟩.
2. Symmetrisk: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩.
3. Tro: ⟨v, v⟩ ≥ 0 og ⟨v, v⟩ = 0 ⇔ v = 0.

Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.

Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet på Rⁿ, defineret ved

u • v = ∑ u_iv_i,

hvor u = (u₁, u₂, ..., u_n) og v = (v₁, v₂, ..., v_n).

I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

1. $\langle z\mathbf {u} +w\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =z\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +w\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$ og $\langle \mathbf {u} ,z\mathbf {v} +w\mathbf {w} \rangle ={\overline {z}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +{\overline {w}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$.
2. $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}$.
3. $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \in [0,\infty )$ og $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0\Leftrightarrow \mathbf {v} =0$.

Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.

Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et indre produkt-rum.

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.