Chandrasekhar-grænsen

Chandrasekhargrænsen er et udtryk for den maksimale masse legemer bestående af stof hvor alle elektronerne er degenererede. Dette er en meget tæt form for stof, der består af atomkerner i en sø af elektroner. Grænsen er den maksimale ikke-roterende masse, der ved hjælp af presset fra elektrondegeneration kan modstå at kollapse under sin egen tyngdekraft. Den er opkaldt efter astrofysikeren Subrahmanyan Chandrasekhar og den gængse værdi er 1,44 solmasser. Eftersom hvide dværge består af elektrondegenereret stof kan en ikke-roterende hvid dværg ikke have en masse over chandresekhargrænsen.

Stjerner producerer energi gennem fusion af lette grundstoffer til tungere. Strålingstrykket fra disse reaktioner forhindrer at en stjerne falder sammen under sin egen tyngdekraft. I løbet af sin levetid opbygger stjernen en kerne, der består af grundstoffer som temperaturen i centrum ikke er høj nok til at kunne fusionere. For hovedseriestjerner med en masse under ca. 8 solmasser vil massen af denne kerne ikke overstige chandrasekhargrænsen og den vil med tiden miste masse og blive til en hvid dværg. Stjerner med en højere masse vil udvikle en degenereret kerne hvis masse vil vokse indtil den når chandrasekhargrænsen. Ved dette stadie vil kernen kollapse i en supernova og efterlade en neutronstjerne eller et sort hul.

Chandrasekhars formel

Chandrasekhars formel (modificeret ved at addere Solens masse):

$M_{Ch}=\left(\left({\frac {3{\sqrt {2\pi }}}{8}}\right)\left({\frac {\hbar c}{G}}\right)^{1.5}\left({\frac {z}{m_{H}}}\right)^{2}\right)+M_{Sol}$

hvor:

$M_{Ch}\,$ er massen for Chandrasekhar-grænsen.

$M_{Sol}=1.9891\times 10^{33}\;\mathrm {g}$ er Solens masse,

$\pi \approx 3.141592654$ er den matematiske konstant pi,

$\hbar \approx 1.054571596\times 10^{-27}\;\mathrm {ergs}$ er Diracs konstant (=også kaldet ”den reducerede Plancks konstant”),

$c=2.99792458\times 10^{8}\;\mathrm {ms} ^{-1}$ er lysets hastighed i vakuum,

$G\approx 6.673\times 10^{-8}\;\mathrm {m} ^{3}\mathrm {g} ^{-1}\mathrm {s} ^{-2}$ er den universelle gravitationskonstant,

$z=Z/A\,$ er forholdet mellem antal protoner $Z\,$ og summen af alle nukleoner (protoner + neutroner) $A\,$,

og $m_{H}\approx 1.673534\times 10^{-24}\mathrm {g}$ er massen af et brintatom.

Det står umiddelbart klart, at formlen kun har 1 variabel, nemlig $z\,$. Resten er konstanter, hvoraf de tre er universelle fysiske konstanter ($\hbar$, $c\,$ and $G\,$).
Følgelig varierer Chandrasekhargrænsen alene med forholdet mellem protoner og summen af alle neukleoner.

Stærke indikationer af, at Chandrasekhars formel er korrekt:

1. Man har aldrig observeret en hvid dværgstjerne med en masse, som overstiger Chandrasekhargrænsen.
2. Supernovaer af type Ia (resultatet af, at en hvid dværgs masse overstiger Chandrasekhargrænsen $M_{Ch}\,$) har en absolut lysstyrke i intervallet -19.3 ± 0.3. Dette interval er identisk med en faktor 1,7 i lysstyrke, og dette indikererer, at alle supernovaer af type Ia omsætter omtrent samme mængde masse til energi, når man tager højde for en mindre variation af $z\,$.

Ved i Chandrasekhars formel at indsætte $z=0.5\,$ får man

$M_{Ch}=(0.44+1)M_{Sol}=1.44M_{Sol}\,$,

nemlig Chandrasekhargrænsen.

Andre værdier for $z\,$ kunne være:

En hypotetisk hvid dværg bestående udelukkende af protoner: $z=1.0\to 2.74M_{Sol}\,$

et par mellemstadier:

$z=0.6\to 2.05M_{Sol}\,$

$z=0.4\to 1.28M_{Sol}\,$

En hypotetisk hvid dværg bestående udelukkende af neutroner (ikke at forveksle med en ægte neutronstjerne): $z=0.0\to 1.00M_{Sol}\,$

Man skal være opmærksom på, at ovennævnte "andre værdier" er hypotetiske, idet de præcise kemiske sammensætninger af de forskellige hvide dværgstjerner (spektralklasse D) endnu er ukendte, fordi de hvide dværges indre er næsten skjult af deres atmosfære.

En anden variant af Chandrasekhars formel

Beregnede værdier for Chandrasekhar-grænsen afhænger af de omtrentlige værdier, som anvendes, som fx massen af en atomkerne, den præcise sammensætning af den hvide dværgs masse, og dens temperatur. Chandrasekhar^{, eq. (36),, eq. (58),, eq. (43)} giver en værdi af

${\frac {\omega _{3}^{0}{\sqrt {3\pi }}}{2}}\left({\frac {\hbar c}{G}}\right)^{3/2}{\frac {1}{(\mu _{e}m_{H})^{2}}}.$

I denne formel er

$\omega _{3}^{0}\approx 2.018236$ er en konstant som har forbindelse med løsningen af Lane-Emden ligningen. Som tal er denne konstant ca. (2/μ_e)² · 2.85 · 10³⁰ kg, eller 1,43 * (2/μ_e)² M_☉, hvor M_☉=1.989·10³⁰ kg er Solens masse.

$\hbar \approx 1.054571596\times 10^{-27}\;\mathrm {ergs}$ er Diracs konstant,

μ_e den gennemsnitlige molekylvægt pr. elektron,

m_H er massen af et brintatom,

Eftersom ${\sqrt {\hbar c/G}}$ er Planck massen, M_Pl≈2.176·10⁻⁸ kg, er Chandrasekhar-grænsen i størrelsesordenen ${\frac {M_{Pl}^{3}}{m_{H}^{2}}}$.

Kilder

Carroll, Bradley W. & Ostlie, Dale A.: Modern Astrophysics, Pearson Education Inc., 2006/2007, ISBN 0-321-44284-9 (International Edition)