Logaritme: Forskelle mellem versioner

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Content deleted Content added
Mgarde (diskussion | bidrag)
→‎Intro: Billede
m Datomaerker kilde mangler-skabeloner; kosmetiske ændringer
Linje 5: Linje 5:
for alle <math>x</math>. <math>a</math> kaldes for logaritmens grundtal. <math>\log_a(y)</math> er altså det tal (den potens), som <math>a</math> skal opløftes i, for at få <math>y</math>, og er derfor den [[Invers funktion|inverse funktion]] til [[eksponentialfunktion]]en <math>a^x</math>.
for alle <math>x</math>. <math>a</math> kaldes for logaritmens grundtal. <math>\log_a(y)</math> er altså det tal (den potens), som <math>a</math> skal opløftes i, for at få <math>y</math>, og er derfor den [[Invers funktion|inverse funktion]] til [[eksponentialfunktion]]en <math>a^x</math>.


==Eksempel==
== Eksempel ==
Tager man for eksempel <math>\log_{10}(100)</math> er resultatet 2, fordi <math>10^{2}=100</math>.
Tager man for eksempel <math>\log_{10}(100)</math> er resultatet 2, fordi <math>10^{2}=100</math>.
==Logaritmetabeller==
== Logaritmetabeller ==
Før [[regnemaskine]]rne blev udbredt, brugte man i stor stil logaritmetabeller med "færdigberegnede" logaritmer til en masse tal, til at lette regnearbejdet med. Eksempel: Skulle man gange to tal med hinanden, slog man tallenes logaritme op i tabellerne, lagde tallenes logaritmer sammen, hvorefter man fandt gangeresultatet ved at tage summens antilogaritme i en anden tabel. De to mest anvendte logaritmer er 10-talslogaritmen med grundtal 10 og den naturlige logaritme med grundtallet ''e'' (2,71828...). Den naturlige logaritme er defineret som
Før [[regnemaskine]]rne blev udbredt, brugte man i stor stil logaritmetabeller med "færdigberegnede" logaritmer til en masse tal, til at lette regnearbejdet med. Eksempel: Skulle man gange to tal med hinanden, slog man tallenes logaritme op i tabellerne, lagde tallenes logaritmer sammen, hvorefter man fandt gangeresultatet ved at tage summens antilogaritme i en anden tabel. De to mest anvendte logaritmer er 10-talslogaritmen med grundtal 10 og den naturlige logaritme med grundtallet ''e'' (2,71828...). Den naturlige logaritme er defineret som
:<math>\log_e(x)=\int_1^x\frac{1}{y}dy</math>
:<math>\log_e(x)=\int_1^x\frac{1}{y}dy</math>
==Naturlige logaritme==
== Naturlige logaritme ==
Matematikere kalder ofte den [[Naturlig logaritme|naturlige logaritme]] for blot logaritmen (''log''), mens de pointerer 10-tallet i 10-talslogaritmen (''log<sub>10</sub>'').
Matematikere kalder ofte den [[Naturlig logaritme|naturlige logaritme]] for blot logaritmen (''log''), mens de pointerer 10-tallet i 10-talslogaritmen (''log<sub>10</sub>'').
Omvendt er ingeniørerens logaritme (''log'') den med grundtallet 10, og den naturlige logaritme betegnes ''ln''.
Omvendt er ingeniørerens logaritme (''log'') den med grundtallet 10, og den naturlige logaritme betegnes ''ln''.
Da ingeniørerne var dem, der konstruerede lommeregneren, har deres betegnelser vundet indpas på dette hjælpemiddel, som til en vis grad har overflødiggjort den tidligere anvendelse af logaritmetabeller. {{Kilde mangler}}
Da ingeniørerne var dem, der konstruerede lommeregneren, har deres betegnelser vundet indpas på dette hjælpemiddel, som til en vis grad har overflødiggjort den tidligere anvendelse af logaritmetabeller. {{kilde mangler|dato=Uge 14, 2011}}


==Anvendelse==
== Anvendelse ==
[[File:Scala logaritmica con interi.jpg|thumb|right|400px| Eksempel på en logarismisk skala]]
[[Fil:Scala logaritmica con interi.jpg|thumb|right|400px| Eksempel på en logarismisk skala]]


Logaritmer bruges bl.a. i udregning af visse enheder og værdier, ligesom logaritmiske skalaer ofte ses i [[koordinatsystem]]erne til visse grafer.
Logaritmer bruges bl.a. i udregning af visse enheder og værdier, ligesom logaritmiske skalaer ofte ses i [[koordinatsystem]]erne til visse grafer.
Linje 22: Linje 22:
== Regneregler ==
== Regneregler ==
Logaritmerne spiller en central rolle i matematikken, hvilket skyldes følgende regneregler, som kan benyttes til at omdanne vanskelige [[multiplikation]]er eller [[division]]er til mere simple [[addition]]er eller [[subtraktion]]er. For positive [[Reelt tal|reelle]] tal <math>a</math> og <math>b</math> og et reelt tal x, gælder der, at
Logaritmerne spiller en central rolle i matematikken, hvilket skyldes følgende regneregler, som kan benyttes til at omdanne vanskelige [[multiplikation]]er eller [[division]]er til mere simple [[addition]]er eller [[subtraktion]]er. For positive [[Reelt tal|reelle]] tal <math>a</math> og <math>b</math> og et reelt tal x, gælder der, at
*<math>\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)</math>
* <math>\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)</math>
*<math>\log(\tfrac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)</math>
* <math>\log(\tfrac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)</math>
*<math>\log(a^x) = x\log(a)\,</math>.
* <math>\log(a^x) = x\log(a)\,</math>.
Regnereglerne gælder generelt for alle logaritmer af vilkårlige base, inklusiv den naturlige logaritme.
Regnereglerne gælder generelt for alle logaritmer af vilkårlige base, inklusiv den naturlige logaritme.



Versionen fra 5. apr. 2011, 23:07

Graferne for den naturlige logaritm (), logaritmen med grundtal 2 () og logaritmen med grundtal .

Logaritmer er en klasse af matematiske funktioner , der opfylder

for alle . kaldes for logaritmens grundtal. er altså det tal (den potens), som skal opløftes i, for at få , og er derfor den inverse funktion til eksponentialfunktionen .

Eksempel

Tager man for eksempel er resultatet 2, fordi .

Logaritmetabeller

Før regnemaskinerne blev udbredt, brugte man i stor stil logaritmetabeller med "færdigberegnede" logaritmer til en masse tal, til at lette regnearbejdet med. Eksempel: Skulle man gange to tal med hinanden, slog man tallenes logaritme op i tabellerne, lagde tallenes logaritmer sammen, hvorefter man fandt gangeresultatet ved at tage summens antilogaritme i en anden tabel. De to mest anvendte logaritmer er 10-talslogaritmen med grundtal 10 og den naturlige logaritme med grundtallet e (2,71828...). Den naturlige logaritme er defineret som

Naturlige logaritme

Matematikere kalder ofte den naturlige logaritme for blot logaritmen (log), mens de pointerer 10-tallet i 10-talslogaritmen (log10). Omvendt er ingeniørerens logaritme (log) den med grundtallet 10, og den naturlige logaritme betegnes ln. Da ingeniørerne var dem, der konstruerede lommeregneren, har deres betegnelser vundet indpas på dette hjælpemiddel, som til en vis grad har overflødiggjort den tidligere anvendelse af logaritmetabeller.[kilde mangler]

Anvendelse

Eksempel på en logarismisk skala

Logaritmer bruges bl.a. i udregning af visse enheder og værdier, ligesom logaritmiske skalaer ofte ses i koordinatsystemerne til visse grafer.

Regneregler

Logaritmerne spiller en central rolle i matematikken, hvilket skyldes følgende regneregler, som kan benyttes til at omdanne vanskelige multiplikationer eller divisioner til mere simple additioner eller subtraktioner. For positive reelle tal og og et reelt tal x, gælder der, at

  • .

Regnereglerne gælder generelt for alle logaritmer af vilkårlige base, inklusiv den naturlige logaritme.

Omregning til andre baser

En logaritme kan omregnes fra en base til en anden med følgende formel:

Denne formel kan udledes på følgende måde:

Se også

Wikimedia Commons har medier relateret til: