Indre produkt: Forskelle mellem versioner

← Gå til forrige forskel Gå til næste forskel →

Content deleted Content added

Inline

Versionen fra 4. jun. 2011, 13:55

Et indre produkt er i matematikken en funktion $f\colon V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ eller $f\colon V\times V\rightarrow \mathbb {C}$ , hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien $f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$ skrives dog normalt $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ .

Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

$\langle r\mathbf {u} +s\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =r\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +s\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$ og $\langle \mathbf {u} ,r\mathbf {v} +s\mathbf {w} \rangle =r\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +s\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle$ .
$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle$ .
$\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0$ og $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0\Leftrightarrow \mathbf {v} =\mathbf {0}$ .

Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.

Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet på $\mathbb {R} ^{n}$ , defineret ved

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}

,

hvor $\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})^{T}$ og $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})^{T}$ .

I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

$\langle z\mathbf {u} +w\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =z\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +w\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$ og $\langle \mathbf {u} ,z\mathbf {v} +w\mathbf {w} \rangle ={\overline {z}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +{\overline {w}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ .
$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}$ .
$\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0$ og $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0\Leftrightarrow \mathbf {v} =\mathbf {0}$ .

Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.

Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et indre produkt-rum.

Spire

Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
-Et '''indre produkt''' er i [[matematik]]ken en funktion ''f'': ''V''×''V'' → '''R''' hhv. ''f'': ''V''×''V'' → '''C''', hvor ''V'' er et reelt hhv. komplekst [[vektorrum]], der opfylder tre betingelser. Værdien ''f''('''u''', '''v''') skrives dog normalt ⟨'''u''', '''v'''⟩.
+Et '''indre produkt''' er i [[matematik]]ken en funktion <math> f\colon  V \times V \rightarrow \mathbb{R} </math> eller <math> f\colon V \times V \rightarrow \mathbb{C} </math>, hvor ''V'' er et reelt hhv. komplekst [[vektorrum]], der opfylder tre betingelser. Værdien <math> f(\mathbf{u} , \mathbf{v} ) </math> skrives dog normalt <math> \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle </math>.
 Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende '''u''', '''v''', '''w''' være vilkårlige [[vektor (matematik)|vektorer]] i et reelt vektorrum ''V'', og ''r'', ''s'' være vilkårlige [[reelle tal]]. Nu skal et indre produkt opfylde:
+# <math> \langle r \mathbf{u} + s \mathbf{v} , \mathbf{w} \rangle = r \langle \mathbf{u} , \mathbf{w} \rangle + s \langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \rangle </math> og <math> \langle \mathbf{u} , r \mathbf{v} + s \mathbf{w} \rangle = r \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle + s \langle \mathbf{u} , \mathbf{w} \rangle </math>.
-# ''[[Bilineær]]'': ⟨''r'''''u''' + ''s'''''v''', '''w'''⟩ = ''r''⟨'''u''','''w'''⟩ + ''s''⟨'''v''', '''w'''⟩ og ⟨'''u''', ''r'''''v''' + ''s'''''w'''⟩ = ''r''⟨'''u''','''v'''⟩ + ''s''⟨'''u''', '''w'''⟩.
+# <math> \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v} , \mathbf{u} \rangle </math>.
-# ''Symmetrisk'': ⟨'''u''', '''v'''⟩ = ⟨'''v''', '''u'''⟩.
+# <math> \langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \rangle \geq 0 </math> og <math> \langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = \mathbf{0} </math>.
-# ''Tro'': ⟨'''v''', '''v'''⟩ ≥ 0 og ⟨'''v''', '''v'''⟩ = 0 ⇔ '''v''' = 0.
 Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk [[bilinearform]].
-Et eksempel på et indre produkt, er [[prikprodukt]]et på '''R'''<sup>''n''</sup>, defineret ved
+Et eksempel på et indre produkt, er [[prikprodukt]]et på <math> \mathbb{R}^n </math>, defineret ved
+: <math> \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i </math>,
-: '''u''' • '''v''' = ∑ ''u''<sub>''i''</sub>''v''<sub>''i''</sub>,
+hvor <math> \mathbf{u} = ( u_1 , u_2 , \dots , u_n )^T </math> og <math> \mathbf{v} = ( v_1 , v_2 , \dots , v_n )^T </math>.
-hvor '''u''' = (''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>) og '''v''' = (''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v''<sub>''n''</sub>).
@@ Linje 15: / Linje 16: @@
 # <math>\langle z\mathbf{u} + w\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = z\langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle + w\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle</math> og <math>\langle\mathbf{u}, z\mathbf{v} + w\mathbf{w}\rangle = \overline{z}\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + \overline{w}\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle</math>.
 # <math>\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \overline{\langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle}</math>.
-# <math>\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle\in [0,\infty)</math> og <math>\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = 0</math>.
+# <math>\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \geq 0 </math> og <math>\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = \mathbf{0}</math>.
 Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.