Eksponentiel udvikling

En eksponentiel udvikling er en slags matematisk model, som kan bruges til beskrive forskellige sammenhænge; typisk hvordan bestemte ting forandrer sig med tiden: Specielt for eksponentielle udviklinger gælder, at målt hen over lige store tidsintervaller stiger eller falder den (tids-)afhængige variabel med lige store forholdstal.
Her er nogle eksempler på fænomener der følger (eller kan følge) en eksponentiel udvikling:

• "Renters rente" er et klassisk eksempel på en eksponentiel udvikling: Placerer man én gang for alle nogle penge et sted hvor man kan forvente en konstant rente, vil saldoen som følge af renterne være eksponentielt voksende.
• Hvis fødselsraten i en befolkning ligger højere eller lavere end hvad der er nødvendigt for at opretholde et konstant befolkningstal, vil befolkningstallet (til at begynde med) følge en eksponentielt voksende eller aftagende udvikling.
• Strålingen fra en prøve af et radioaktivt stof (som henfalder til en stabil isotop) vil aftage eksponentielt over tid. Hvor hurtigt strålingen aftager, beskrives ofte ved den såkaldte halveringstid.
• Temperaturforskellen mellem f.eks. en varm småkage og den konstante stuetemperatur omkring den aftager eksponentielt med tiden.
• Udskillelsen af lægemidler følger ofte en eksponentialfunktion, således at man også her taler om halveringstid. Se farmakokinetik.

Matematikken i en eksponentiel udvikling

Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling således:
y = b · a^x
hvor

• x er den uafhængige variabel (som regel målt i tid).
• y er den afhængige variabel.
• a er det forholdstal som y ændrer sig med, når x stiger eller falder med 1: Hvis a < 1 er y eksponentielt aftagende, hvis a > 1 er den eksponentielt voksende, og hvis a = 1 er y konstant.
• b er den størrelse y har når x er lig med nul.

En eksponentiel udvikling kan beskrives ved de to tal a og b: Givet disse tal kan man med ovenstående regneudtryk svare på spørgsmål om hvor stor den undersøgte størrelse y var eller vil være til et givent tidspunkt x. Med lidt omregning kan man tilsvarende bestemme hvornår y når eller nåede en bestemt værdi.
Givet to sammenhørende par af x og y (f.eks. oplysninger om et eksponentielt voksende indbyggertal to givne, forskellige år) kan man bestemme værdierne af a og b, og derefter bruge formlen til at fremsætte prognoser som beskrevet ovenfor.

Størrelsen af a er somme tider givet indirekte i form af et (for voksende eksponentielle udviklinger) fordoblings- eller (for aftagende udviklinger) halveringstal (eller -konstant): Dette er et udtryk for hvor stor ændring i den uafhængige variabel x der "skal til" for at få fordoblet hhv. halveret den afhængige variabel y. Hvis fordoblingstallet eller fordoblingstiden kaldes for T, gælder:
$a=2^{\frac {1}{T}}\Leftrightarrow T={\frac {\ln 2}{\ln a}}$
Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:
$a=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{t}}\Leftrightarrow t={\frac {\ln {\frac {1}{2}}}{\ln a}}$

Hvis man vil isolere x i ligningen for eksponentiel udvikling, vil den komme til at se sådan ud:

$x={\frac {\ln({\frac {y}{b}})}{\ln(a)}}$