E=mc²

Visning af ligningen på skyskraberen Taipei 101 i anledning af verdensfysikåret 2005

I fysik er E = mc² en vigtig og velkendt ligning, som fastslår, at der er en ækvivalens mellem energi (E) og masse (m), som er ligefrem proportional med kvadratet af lysets hastighed i vakuum (c²). Der kan gyldigt benyttes adskillige definitioner af masse fra den specielle relativitetsteori ved brugen af denne ligning.

Ligningen blev først udledt af Albert Einstein (i en lidt anderledes udformning) i 1905, i hvad der kendes som hans Annus Mirabilis afhandlinger. I disse viste han, at en samlet firedimensional model for rum og tid ("rumtid") nøjagtigt kunne beskrive de observerede fænomener på en måde, som stemte overens med Galileos relativitetsprincip, samtidig med at den redegjorde for den konstante hastighed af elektromagnetisk stråling (lys). Hans specielle relativitetsteori viste endegyldigt, at den traditionelle antagelse i Euklids og Galileos geometri om absolut tid og afstand ikke var korrekt, og at masse og energi følgelig kun adskiller sig i deres fremtræden.

Derfor er c² den omregningsfaktor, der i visse tilfælde kræves for at omregne masseenheder til energienheder. Udtrykt i enheder er E (i joule eller kg·m²/s²) = m (i kilogram) multipliceret med kvadratet af lysets hastighed i vakuum (299.792.458 m/s).

Formlens betydning

Annihilation mellem en elektron og en positron. En positron (e⁺) udsendes fra en atomkerne sammen med en neutrino (ν) og vekselvirker derefter med en elektron (e^–), hvorved de to partikler med positiv masse "forsvinder" til fordel for to fotoner (γ), dvs. energibundter.

Formlen implicerer, at et legeme med masse besidder energi, selv hvis det er i hvile og ikke har nogen form for konventionel energi (potentiel energi, kinetisk energi, kemisk energi osv.). Dette står i modsætning til Newtons mekanik, hvor et legeme i hvile ikke kan have nogen energi, hvorfor massen kaldes for legemets hvileenergi. E'et i formlen kan betragtes som legemets totale energi, hvilket er proportionalt med massen M, når legemet er i hvile.

Omvendt har en sky af fotoner, der bevæger sig gennem det tomme rum og ikke har nogen hvilemasse, stadig en masse, fordi de besidder kinetisk energi.

Formlen giver også en kvantitativ sammenhæng mellem energi og masse i en proces, hvor det ene omdannes til det andet, som det f.eks. sker ved en nuklear eksplosion. I dette tilfælde er E den energi, der frigøres, hvis massen m tilintetgøres, eller den energi, der bliver absorberet for at skabe massen m. I disse tilfælde gælder formlens udtryk for proportionalitet.

Formlen førte blandt andet til opfindelse af atombomben og kernekraft, herunder atomubåde. Ligningen er en af de mest kendte i verden.

Baggrund og implikationer

Ligningen er resultatet af Albert Einsteins undersøgelse af afhængigheden af Inertien af et legeme og dettes energiindhold. Det berømte resultat af denne undersøgelse er, at energi og masse rent faktisk er en og samme ting. For at forstå dette resultat sammenlignes elektromagnetisk kraft med tyngdekraft. I elektromagnetisme er energien lagret i felter (elektriske og magnetiske) associeret med kraften og ikke ladningerne. I tyngdekraften er energien opbevaret i selve massen af materialet. Det er ikke et tilfælde, at masse bøjer rumtiden i modsætning til ladninger i de andre tre fundamentale kræfter.

${\text{Hvileenergi}}={\text{masse}}\times {\text{(lysets hastighed)}}^{2}$

Ifølge ligningen er den maksimale mængde energi, der kan uddrages fra et legeme, det samme som massen af legemet ganget med kvadratet på lysets hastighed i vakuum. Den almindelige betegnelse lysets hastighed benyttes i denne artikel, selvom lysets fart er den korrekte fysiske betegnelse.

Ved at måle massen af en atomkerne og fratrække dette tal summen af masserne af kernens protoner og neutroner kan bindingsenergien for kernen beregnes. Dette viser ikke kun, at det er muligt at frigive energi ved fusion af lette kerner eller fission af tunge kerner, men giver også et groft billede af mængden af den frigivne energi. Bemærk, at masserne af protonerne og neutronerne stadig er der, og at disse også repræsenterer en mængde af energi.

Et kilogram masse kan omregnes til:

• 89.875.517.873.681.764 joule
• 24.965.421.632 kWh
• 21,5 kiloton TNT

Det er vigtigt at bemærke, at praktisk omdannelse af masse til energi sjældent er 100% effektivt. Teoretisk perfekt omdannelse ville ske ved kollision af stof og antistof. Oftest produceres biprodukter i stedet for energi, og meget lidt masse bliver i realiteten omdannet. I ligningen er masse energi, men for klarhedens skyld er ordet omdannelse benyttet.

Ligningens gyldighed

Hangarskibet USS Enterprise (CVN-65) i Middelhavet, 18. juni 1964. Enterprises besætning former den berømte ligning på dækket af skibet for at fejre, at det er det første atomdrevne hangarskib (CVN – Cruiser Volplane Nuclear).

$E=mc^{2}$ gælder for alle objekter med masse, da det er et udtryk for at energi og masse er to sider af samme sag, og at det er muligt at konvertere mellem de to. Gyldigheden for legemer i bevægelse afhænger af definitionen af masse i ligningen.

Normalt gælder ligningen for legemer, der ikke bevæger sig i forhold til et referencepunkt, men legemet kan i forhold til en anden reference være i bevægelse. I begge tilfælde er ligningen gyldig, da betragteren observerer et legeme i hvile, men den totale energi (og masse, hvilket jo er det samme) er forskellig. Så i modsætning til Newtons lære afhænger energi (og masse) af referencepunktet.

Relativistisk masse

I Einsteins tidlige afhandling blev $m$ betragtet som hvad vi nu kalder relativistisk masse. Dette er relateret til hvilemasse $m_{0}$ (dvs. legemets masse betragtet fra et referencepunkt, hvorfra det er i hvile) på følgende måde:

$m=\gamma m_{0}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Men for at opnå ligningen $E=mc^{2}$ skal vi starte med ligningen

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\$

hvor $p=\gamma mv\$ er den relativistiske impuls af legemet. Sættes $v=0$ er $p=0$. Vi har nu et specialtilfælde, hvor legemet er i hvile, og hvor $E^{2}=m^{2}c^{4}$ eller ækvivalent $E=mc^{2}$. Det er kun i dette tilfælde, ligningen gælder. Ved enhver anden hastighed skal vi genindsætte $p^{2}c^{2}$ i det generelle udtryk.

Hvis vi nu sætter $v=0$ i udtrykket

$m=\gamma m_{0}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

får vi $m=m_{0}$. Så i hvile er hvilemasse og relativistisk masse det samme og ligningen kan omskrives til

$E=m_{0}c^{2}\$

Der er ingen forskel på de to udtryk, når $v=0$. Så udtrykket gælder kun, når referencen vælges således at legemet er i hvile.

Hvilemasse

Relativistisk masse bliver ikke brugt meget i moderne fysik. Her bruges $m$ til at symbolisere hvilemasse, så $E=mc^{2}$ er hvileenergien af legemet (legemet er i hvile i forhold til referencen). I dette tilfælde gælder udtrykket kun når legemet er i hvile, den moderne udgave af udtrykket med et objekt i bevægelse i forhold til referencer er

$E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=\gamma mc^{2}$

hvilket kan reduceres til $E=mc^{2}$ når $v=0$. Uagtet den moderne skik benytter denne artikel i det resterende $m$ for relativistisk masse og $m_{0}$ for hvilemasse.

Lavenergiapproksimation

Da restenergien er $m_{0}c^{2}\$, og den totale energi er den kinetiske energi plus restenergien, er den relativistiske kinetiske energi givet ved

$E_{\mathrm {kinetic} }=E_{\mathrm {total} }-E_{\mathrm {rest} }=\gamma m_{0}c^{2}-m_{0}c^{2}=\left(\gamma -1\right)m_{0}c^{2}$

hvilket ved lav hastighed ($v\ll c$) skal stemme over ens med det klassiske udtryk for kinetisk energi,

$E_{\mathrm {kinetic} }={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}$.

Det kan vises at de to formler er i overensstemmelse ved at beskrive $\gamma \$ med den tilsvarende taylor-række,

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}\approx \left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)$.

Ved sammenskrivning med den oprindelige ligning får vi,

$E_{\mathrm {kinetic} }\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}$.

Vi har da,

${\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}=E_{\mathrm {total} }-E_{\mathrm {rest} }\$,

eller,

$E_{\mathrm {total} }=E_{\mathrm {rest} }+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}\$

hvilket ikke er i overensstemmelse med den klassiske fysik, hvor energien er rent kinetisk.

Klassisk og relativistisk fysik er altså ikke ækvivalente undtagen for den kinetiske energi. Einstein viste, at den klassiske fysik ikke kunne anvendes på meget store eller hurtige legemer, men for lav hastighed er den klassiske fysik ækvivalent med den relativistiske fysik. De to teorier modsiger kun hinanden udenfor den klassiske fysiks ramme.

Se også

• Kinetisk energi
• Celeritas – for historien om c-notationen for lysets hastighed.
• Inerti

Referencer

Bøger

• Bodanis, David (2002). E=mc2: en biografi om verdens mest berømte ligning, Haase. ISBN 87-559-1152-8.
• Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4th ed.), W. H. Freeman. ISBN 0-7167-4345-0.

Eksterne henvisninger

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til E=mc²
• Happy 100th Birthday E=mc² BBC
• Einstein's E=mc² inspires ballet BBC
• Edward Muller's Homepage > Antimatter Calculator
• Energy of a Nuclear Explosion
• Albert Einstein’s Sep. 27, 1905 paper
• Einstein's 1912 manuscript page displaying E=mc²
• NOVA – Einstein's Big Idea (PBS Television)
• Film: E=mc²

Noter

LA-ikon