Besselfunktion: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Addbot (diskussion | bidrag) |
No edit summary |
||
Linje 10: | Linje 10: | ||
''Besselfunktioner af første grad'' defineres ved : |
''Besselfunktioner af første grad'' defineres ved : |
||
:<math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>. |
:<math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>. |
||
Differentialligningen har to lineært uafhængige løsninger og derfor også ''besselfunktioner af anden grad'': |
|||
:<math>Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},</math>. |
:<math>Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},</math>. |
||
<math>Y_\alpha(x)</math> er ikke begrænset da <math>x \to 0</math>, hvilket gør at man ofte kan se bort fra denne løsning af fysiske årsager. |
<math>Y_\alpha(x)</math> er ikke begrænset da <math>x \to 0</math>, hvilket gør at man ofte kan se bort fra denne løsning af fysiske årsager. |
Versionen fra 1. jul. 2013, 22:37
Inden for matematik er en Besselfunktion en løsning til differentialkvotienten
- .
Udtrykket kommer når man kigger på den radielle deling af Laplaces ligning i et polært koordinatsystem.
Funktionen er opkaldt efter Friedrich Wilhelm Bessel, men blev først beskrevet af Daniel Bernoulli.
Definition
Besselfunktioner af første grad defineres ved :
- .
Differentialligningen har to lineært uafhængige løsninger og derfor også besselfunktioner af anden grad:
- .
er ikke begrænset da , hvilket gør at man ofte kan se bort fra denne løsning af fysiske årsager.
Sfæriske besselfuntioner
I samarbejde med med Laplaces ligning i sfæriske koordinater kommer et lignende udtryk for den radielle del:
Denne har de sfæriske besselfunktioner som løsninger.