Indre produkt

Et indre produkt er i matematikken en funktion f: V×V → R hhv. f: V×V → C, hvor V er et reelt hhv. komplekst vektorrum, der opfylder tre betingelser. Værdien f(u, v) skrives dog normalt ⟨u, v⟩.

Lad os først se på det reelle tilfælde, så lad i det følgende u, v, w være vilkårlige vektorer i et reelt vektorrum V, og r, s være vilkårlige reelle tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

1. Bilineær: ⟨ru + sv, w⟩ = r⟨u,w⟩ + s⟨v, w⟩ og ⟨u, rv + sw⟩ = r⟨u,v⟩ + s⟨u, w⟩.
2. Symmetrisk: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩.
3. Tro: ⟨v, v⟩ ≥ 0 og ⟨v, v⟩ = 0 ⇔ v = 0.

Altså er et indre produkt på et reelt vektorrum en positiv definit ikke-degenereret symmetrisk bilinearform.

Et eksempel på et indre produkt, er prikproduktet på Rⁿ, defineret ved

u • v = ∑ u_iv_i,

hvor u = (u₁, u₂, ..., u_n) og v = (v₁, v₂, ..., v_n).

I det komplekse tilfælde er reglerne lidt anderledes. Lad nu u, v, w være vilkårlige vektorer i et komplekst vektorrum V, og z, w være vilkårlige komplekse tal. Nu skal et indre produkt opfylde:

1. $\langle z\mathbf {u} +w\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =z\langle \mathbf {u} ,\mathbf {w} \rangle +w\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$ og $\langle \mathbf {u} ,z\mathbf {v} +w\mathbf {w} \rangle ={\overline {z}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +{\overline {w}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$.
2. $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}$.
3. $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \in [0,\infty )$ og $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0\Leftrightarrow \mathbf {v} =0$.

Anden del af 1. er ofte udeladt af definitionen, da det følger af 2.

Et vektorrum med et indre produkt, kaldes et euklidisk vektorrum.

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.