Interval (matematik)

Et interval er i matematiske sammenhænge en mængde bestående af samtlige reelle tal, der ligger mellem to givne tal, kaldet endepunkter. Disse to tal, der udgør grænserne for intervallet, kan enten være en del af eller stå uden for intervallet, og man skelner således mellem åbne, halvåbne og lukkede intervaller.

Notation

Intervaller skrives som de to tal, der angiver endepunkterne, adskilt af et semikolon (;), og omgivet af kantede parenteser, [ og ]. Parenteserne bruges til at markere, om de angivne endepunkter er en del af eller står uden for intervallet: Vender en parentes ind imod et tal, er tallet "med i" intervallet. Vender parentesen væk fra tallet, er tallet lige akkurat ikke med. Nogle eksempler:

• Intervallet [2;5] omfatter tallene 2 og 5, og samtlige reelle tal der ligger imellem de to.
• I intervallet ]2;5] står 2 lige akkurat uden for intervallet, mens samtlige tal, der er blot den mindste smule større end 2, og samtidig mindre end eller lig med 5, er en del af intervallet...
• Intervallet [2;5[ omfatter tallet 2, men lige akkurat ikke tallet 5.
• Intervallet ]2;5[ omfatter ingen af tallene 2 og 5, men alle tal der er større end 2 og samtidig mindre end 5.

Formelt gælder altså:

$[a;b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$,
$]a;b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}$,
$[a;b[=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}$ og
$]a;b[=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}$.

En anden notation bruger både kantede parenteser og de "almindelige", runde parenteser, som alle vender "indad" mod tallene. Til gengæld bruges en kantet parentes ved siden af et endepunkt, der er med i intervallet og en rund parentes ved endepunkter der er uden for intervallet.

Åbne, halvåbne og lukkede intervaller

Et interval som eksemplet [2;5], hvor begge de angivne tal er "med i" intervallet, omtales som et lukket interval, mens intervaller hvor ingen af de afgrænsende tal er en del af intervallet, som eksemplet ]2;5[, kaldes for et åbent interval. I de andre to eksempler er det ene tal en del af intervallet, mens det andet står udenfor, og begge omtales som halvåbne intervaller.

Ubegrænsede intervaller

Der findes også ubegrænsede intervaller, der er uendeligt lange. Med kun ét endepunkt findes åbne intervaller af typen $\left]a;\infty \right[$ og $\left]-\infty ;b\right[$ samt lukkede af typen $\left[a;\infty \right[$ og $\left]-\infty ;b\right]$.

Intervallet $\left]-\infty ;\infty \right[$ (alle reelle tal) har ingen endepunkter og er derfor både åbent og lukket.

Bemærk at overalt hvor "uendelig" ($\infty$) eller "minus uendelig" ($-\infty$) indgår, er disse to værdier aldrig "med" i intervallet; den kantede parentes skal per konvention altid "vende væk" fra $\infty$ eller $-\infty$.

Degenererede intervaller

Etpunktsmængder af typen {a} samt den tomme mængde Ø er også sammenhængende delmængder af de reelle tal, men de opfattes normalt ikke som "rigtige" intervaller. Men hvis man tager disse degenererede intervaller og de "rigtige" intervaller under ét, har man en beskrivelse af netop de sammenhængende mængder af reelle tal.