Maksimum og minimum: Forskelle mellem versioner

Spring til navigation Spring til søgning
269 bytes tilføjet ,  for 5 år siden
Definitionerne af minimum og maksimum er præciseret så der skelnes mellem maksimalt element og største element i partielt ordnede mængder. Ekstremum i funktionsundersøgelse har fået sit eget afsnit.
(sammenskrevet med Ekstremum)
(Definitionerne af minimum og maksimum er præciseret så der skelnes mellem maksimalt element og største element i partielt ordnede mængder. Ekstremum i funktionsundersøgelse har fået sit eget afsnit.)
I [[matematik]] er '''maksimum''' og et '''minimum''' henholdsvis det største og det mindste element i en mængde. EtMaksimum '''ekstremum'''og er i [[funktionsanalyse (matematik)|funktionsanalyse]] en eller flere værdier, der betegner globale eller lokale maksima eller minima. Det er de præcise værdierminimum for en uafhængigmængde [[variabel]]kaldes tilsammen demængdens steder,'''ekstrema''' hvor(flertal [[funktionaf (matematikekstremum)|funktion]]en. skifter fra at være aftagende til at være voksende eller omvendt.
 
== Definition ==
 
DenEt intuitive forklaring af maksimum ovenfor kan formaliseres: Hviselement <math>a</math> er maksimum i en mængde partielt ordnet mængde <math>M</math>, kaldes ermængdens ethvert'''største vilkårligtelement''' dersom ethvert element <math>x</math> i <math>M</math> er mindre end eller lig dette (i fald det vilkårlige element jo skulle være <math>a</math> selv). Dette kan skrives symbolsk:
 
<math>\forall x \in M: x \leq a</math>
 
Med denne definition kan en ordnet mængde højst have et største element. Et element <math>a</math> i en mængde partielt ordnet mængde <math>M</math> siges at være '''maksimalt''' dersom der ikke findes noget element <math>x</math> i <math>M</math> som er større end <math>a</math>. Dette kan skrives symbolsk:
For minimum er omvendt ethvert element <math>x</math> i M større end eller lig dette minimum <math>b</math> (hvis det eksisterer):
 
<math>\forallneg \exist x \in M: b \leq x > a</math>
 
Hvis mængden er totalt ordnet, er begreberne maksimalt element og største element synonyme og man siger at <math>a</math> er mængdens '''maksimum'''.
Definitionerne her forudsætter, at der er en [[total ordning]] på mængden M, så ulighedstegnet og dermed [[ulighed (matematik)|ulighed]]en har en mening; mere mundret kan man forestille sig, at man skal have klargjort, hvad udtrykkene "størst" og "mindst" betyder.
 
Begreberne '''mindste element''', '''minimalt element''' og '''minimum''' defineres tilsvarende med den ene forskel at ulighedstegnene er vendt om.
For mængde, der ikke har maksimum eller minimum kan man i stedet se, om den så i hvert fald har [[supremum]] og [[infimum]].
 
For en mængde, der ikke har maksimum eller minimum kan man i stedet se, om den har i hvert fald haret [[supremum]] ogeller et [[infimum]].
 
== Funktionsundersøgelse ==
Et '''ekstremum''' er i [[funktionsanalyse (matematik)|funktionsanalyse]] en eller flere værdier, der betegner globale eller lokale maksima eller minima. Det er de præcise værdier for en uafhængig [[variabel]] på de steder, hvor [[funktion (matematik)|funktion]]en skifter fra at være aftagende til at være voksende eller omvendt.
[[Kategori:Matematik]]

Navigationsmenu