Maksimum og minimum: Forskelle mellem versioner
Definitionerne af minimum og maksimum er præciseret så der skelnes mellem maksimalt element og største element i partielt ordnede mængder. Ekstremum i funktionsundersøgelse har fået sit eget afsnit. |
Præcisering af afsnittet om funktionsundersøgelse. |
||
| Linje 7: | Linje 7: | ||
<math>\forall x \in M: x \leq a</math> |
<math>\forall x \in M: x \leq a</math> |
||
En ordnet mængde kan derfor højst have et største element. Et element <math>a</math> i en mængde partielt ordnet mængde <math>M</math> siges at være '''maksimalt''' dersom der ikke findes noget element <math>x</math> i <math>M</math> som er større end <math>a</math>. Dette kan skrives symbolsk: |
|||
<math>\neg \exist x \in M: x > a</math> |
<math>\neg \exist x \in M: x > a</math> |
||
Hvis mængden er totalt ordnet, er begreberne maksimalt element og største element synonyme og man siger at <math>a</math> er mængdens '''maksimum'''. |
En partielt ordnet mængde kan godt have flere maksimale elementer. Hvis mængden er totalt ordnet, er begreberne maksimalt element og største element synonyme og man siger at <math>a</math> er mængdens '''maksimum'''. |
||
Begreberne '''mindste element''', '''minimalt element''' og '''minimum''' defineres tilsvarende med den ene forskel at ulighedstegnene er vendt om. |
Begreberne '''mindste element''', '''minimalt element''' og '''minimum''' defineres tilsvarende med den ene forskel at ulighedstegnene er vendt om. |
||
| Linje 18: | Linje 18: | ||
== Funktionsundersøgelse == |
== Funktionsundersøgelse == |
||
Ved en funktions ekstrema forstås funktionens mindste og største værdi dersom disse findes. En funktion kan endvidere have lokale ekstremumspunkter, hvor funktionens restriktion til en lille omegn antager en mindste eller største værdi. Hvis (x,f(x)) er et lokalt ekstremumspunkt og funktionen er differentiabel, så er f'(x)=0. Maksimum for en funktion kan derfor findes ved at bestemme funktionens værdi alle steder hvor f'(x)=0 eller hvor funktionen ikke er differentiabel. |
|||
Et '''ekstremum''' er i [[funktionsanalyse (matematik)|funktionsanalyse]] en eller flere værdier, der betegner globale eller lokale maksima eller minima. Det er de præcise værdier for en uafhængig [[variabel]] på de steder, hvor [[funktion (matematik)|funktion]]en skifter fra at være aftagende til at være voksende eller omvendt. |
|||
[[Kategori:Matematik]] |
[[Kategori:Matematik]] |
||
Versionen fra 22. okt. 2016, 10:33
I matematik er maksimum og minimum henholdsvis det største og det mindste element i en mængde. Maksimum og minimum for en mængde kaldes tilsammen mængdens ekstrema (flertal af ekstremum).
Definition
Et element i en mængde partielt ordnet mængde kaldes mængdens største element dersom ethvert element i er mindre end eller lig . Dette kan skrives symbolsk:
En ordnet mængde kan derfor højst have et største element. Et element i en mængde partielt ordnet mængde siges at være maksimalt dersom der ikke findes noget element i som er større end . Dette kan skrives symbolsk:
En partielt ordnet mængde kan godt have flere maksimale elementer. Hvis mængden er totalt ordnet, er begreberne maksimalt element og største element synonyme og man siger at er mængdens maksimum.
Begreberne mindste element, minimalt element og minimum defineres tilsvarende med den ene forskel at ulighedstegnene er vendt om.
For en mængde, der ikke har maksimum eller minimum kan man i stedet se, om den har et supremum eller et infimum.
Funktionsundersøgelse
Ved en funktions ekstrema forstås funktionens mindste og største værdi dersom disse findes. En funktion kan endvidere have lokale ekstremumspunkter, hvor funktionens restriktion til en lille omegn antager en mindste eller største værdi. Hvis (x,f(x)) er et lokalt ekstremumspunkt og funktionen er differentiabel, så er f'(x)=0. Maksimum for en funktion kan derfor findes ved at bestemme funktionens værdi alle steder hvor f'(x)=0 eller hvor funktionen ikke er differentiabel.