Unitær matrix

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I lineær algebra er en unitær matrix en n gange n kompleks matrix U, der opfylder

hvor er identitetsmatricen og er den Hermitisk adjungerede (også kaldet den konjugerede transponerede) af U. Kravet siger, at en matrix U er unitær, hvis den har en invers, der er lig med den Hermitisk adjungerede .

En unitær matrix i hvilken alle indgange er reelle er det samme som en ortogonalmatrix. Præcis som en ortogonalmatrix G bevarer det (reelle) indre produkt af to reelle vektorer,

opfylder en unitær matrix U, at

for alle komplekse vektorer x og y, hvor <.,.> nu er det Euklidiske indre produkt på . Hvis er en n gange n-matrix er følgende udsagn ækvivalente:

  1. er unitær.
  2. er unitær.
  3. Søjlerne i danner en ortonomalbasis for med hensyn til det Euklidiske indre produkt.
  4. er en isometri med hensyn til normen fra dette indre produkt.

Det følger af isometriegenskaben, at alle egenværdier af en unitær matrix er komplekse tal med absolut værdi 1 (de ligger på enhedscirklen med centrum 0 i det komplekse plan.) Det samme gælder determinanten.

Alle unitære matricer er normale, og spektralsætningen gælder derfor for dem. Det vil sige, at enhver unitær matrix U kan skrives på formen

,

hvor er unitær og er unitær og en diagonalmatrix.

For ethvert n, danner mængden af alle n gange n unitære matricer med matrixmultiplikation en gruppe.