Wiens forskydningslov

En glødepære lyser rødt ved 700 °C, men orange til hvid-gult ved højere temperaturer.

Wiens forskydningslov siger, at et sort legemes temperatur $T$ er omvendt proportional med den mest intense bølgelængde $\lambda _{\max }$ udsendt i form af varmestråling:

$\lambda _{\max }\propto {\frac {1}{T}}$

Loven blev formuleret af Wilhelm Wien i 1893.

Udledning

Loven kan udledes fra Plancks strålingslov, der beskriver radiansen for hver enkelt bølgelængde $\lambda$:

$B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}}$

hvor $B_{\lambda }$ er radiansen, hvilket er effekten pr. areal, pr. rumvinkel og pr. bølgelængde. Plancks konstant er skrevet som $h$, $c$ er lysets hastighed i vakuum, og $k_{\text{B}}$ er Boltzmanns konstant. Bølgelængden $\lambda _{\max }$ er da, hvor $B_{\lambda }$ har sit maksimum, hvilket er, hvor hældningen er nul:

$\left.{\frac {dB_{\lambda }}{d\lambda }}\right\vert _{\lambda _{\max }}=0$

Den afledte til radiansen er:

${\frac {dB_{\lambda }}{d\lambda }}={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}}\left({\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}{\frac {1}{1-e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}}}}-5\right)$

Da den afledte ved maksimum skal være nul, kan faktoren foran parentesen ganges væk. Ligningen bliver da:

${\frac {hc}{\lambda _{\max }k_{\text{B}}T}}{\frac {1}{1-e^{-{\frac {hc}{\lambda _{\max }k_{\text{B}}T}}}}}-5=0$

For yderligere at simplificere ligningen kan $x$ defineres til at være:

$x\equiv {\frac {hc}{\lambda _{\max }k_{\text{B}}T}}$

Ligningen, der skal løses, er altså:

$x{\frac {1}{1-e^{-x}}}=5$

Dette kan løses numerisk vha. en fikspunktsiteration:

$x_{n+1}=5(1-e^{-x_{n}})$

Ved at gætte på 1 som $x_{1}$ konvergerer iterationen på:

$x=4,96511...$

Ud fra definitionen på $x$ ses det, at:

$\lambda _{\max }={\frac {hc}{xk_{\text{B}}}}{\frac {1}{T}}$

hvilket er Wiens forskydningslov. Med de kendte værdier for $h$, $c$ og $k_{\text{B}}$ kan proportionalitetskonstanten beregnes til at være:

${\frac {hc}{xk_{\text{B}}}}\approx 2.9{\text{ mm K}}$

Produktet mellem temperatur og bølgelængde vil altså altid være denne konstant.