Afstandsformlen

Afstandsformlen er en sætning (eller rettere, en familie af sætninger) til at finde afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem. Dette gøres ved at indsætte koordinatsættet fra punkterne, i formelen. Nedenfor er sætningen og dens bevis for et todimensionelt, kartesisk koordinatsystem angivet.

Sætningen

To givne punkter (A & B) er angivet ved:

$A: (x_1;y_1) \frac{}{}$

$B: (x_2;y_2) \frac{}{}$

Det vil således gælde at, afstanden mellem disse er:

$|AB|= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Dette skal bevises.

Beviset

På vores tegning kan vi følge med i hvad der sker. Vi benytter os af pythagoras' læresætning, der siger følgende om en retvinklet trekant:

$a^2+b^2=c^2 \frac{}{}$

På tegningen kan der ses en retvinklet trekant, og med viden fra afstande, kan vi dermed sige at:

$|AB|^2 = |x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2 \frac{}{}$

$\Updownarrow$

$|AB|^2 = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \frac{}{}$

$\Updownarrow$

$|AB|= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Det er dermed bevist at denne formel må give afstanden mellem de to punkter.