Afstandsformlen

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Afstandsformlen er en sætning (eller rettere, en familie af sætninger) til at finde afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem. Dette gøres ved at indsætte koordinatsættet fra punkterne, i formelen. Nedenfor er sætningen og dens bevis for et todimensionelt, kartesisk koordinatsystem angivet.

Sætningen[redigér | redigér wikikode]

To givne punkter (A & B) er angivet ved:


A: (x_1;y_1) \frac{}{}

B: (x_2;y_2) \frac{}{}


Det vil således gælde at, afstanden mellem disse er:


|AB|= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}


Dette skal bevises.

Beviset[redigér | redigér wikikode]

På vores tegning kan vi følge med i hvad der sker. Vi benytter os af pythagoras' læresætning, der siger følgende om en retvinklet trekant:


a^2+b^2=c^2 \frac{}{}


På tegningen kan der ses en retvinklet trekant, og med viden fra afstande, kan vi dermed sige at:


|AB|^2 = |x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2 \frac{}{}

\Updownarrow

|AB|^2 = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \frac{}{}

\Updownarrow

|AB|= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}



Det er dermed bevist at denne formel må give afstanden mellem de to punkter.