Peanos aksiomer

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Peanos aksiomer, der blev opstillet af matematikeren af samme navn, består af fire udsagn, som definerer de naturlige tal.

Aksiomerne[redigér | redigér wikikode]

De naturlige tal, \mathbb N, er en mængde udstyret med en efterfølgerfunktion S: \mathbb N \rightarrow \mathbb N, der opfylder følgende fire aksiomer:

  • Den er ikke-tom; altså den indeholder i hvert fald ét element, som vi kan kalde 1: 1 \in \mathbb N
  • Dette element er et startelement i mængden, idet det ikke efterfølger for noget andet element i mængden: \forall n \in \mathbb N: 1 \neq S(n)
  • Forskellige elementer har forskellige efterfølgere: \forall n,m \in \mathbb N: n \neq m \Rightarrow S(n) \neq S(m)
  • Hvis en delmængde A \subseteq \mathbb N opfylder, at 1 \in A og \forall n \in A: n \in A \Rightarrow S(n) \in A, så udgør denne mængde faktisk hele \mathbb N: A = \mathbb N

Man kan se de første tre aksiomer som reglerne for den maskine – efterfølgerfunktionen – der skal "producere" de naturlige tal: Første aksiom sikrer, at vi har et element at gå ud fra, nemlig 1. Dette element er så ifølge andet aksiom det "første" element: Det er ikke efterfølger for noget andet tal. Desuden sker produktionen ifølge tredje aksiom "lineært": Eftersom forskellige tal har forskellige efterfølger, springer man ved produktionen af ikke lige pludselig tilbage i rækken, så at sige, men fortsætter sådan set uendeligt.

Det sidste aksiom, som kaldes induktionsaksiomet, sikrer, at der ikke er flere elementer end dem, som defineres ved de første tre aksiomer. Det bruges desuden til at bevise princippet om matematisk induktion.