Præordning

Matematisk Præordning vil sige en præordnet mængde, som er en mængde med en relation $\leq$, som angiver hvilket af to elementer der er størst.

Egenskaber

For at relationen $\leq$ skal kaldes en præordning skal den have følgende egenskaber:

Refleksivitet

• $x \leq x$.

Transitivitet

• $x \leq y$ og $y \leq z$ medfører $x \leq z$.

Vigtige krav

De vigtigste typer af præordninger er givet ved at forlange at et af følgende krav er opfyldt:

Symmetri

En præordning siges at være symmetrisk dersom $x \leq y$ medfører $y \leq x$. En symmetrisk præordning kaldes en ækvivalensrelation. Lighedstegn, ligedannethed og ensbetydende er eksempler på ækvivalensrelationer.

Antisymmetri

En præordning siges at være antisymmetrisk dersom $x \leq y$ og $y \leq x$ medfører $x = y$. En antisymmetrisk præordning kaldes en ordning

Vilkårlig præordning

For en vilkårlig præordning $\leq$ kan man definere en ækvivalensrelation ved at sætte $x \equiv y$ netop hvis $x \leq y$ og $y \leq x$. Da definerer $\leq$ en ordning af ækvivalensklasserne.