Subnormale undergrupper

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Subnormale undergrupper er et matematisk begreb som hører til under Gruppeteori. Lad G være en gruppe (matematik), en undergruppe N i G siges at være normal hvis den opfylder en af følgende tre ækvivalente betingelser:

  1. For alle  g \in G gælder  gN=Ng
  2. For alle  g \in G gælder  gNg^{-1}=N
  3. For alle  g \in G gælder  gNg^{-1}\subseteq N

Således er alle undergrupper i en abelsk gruppe normale undergrupper. En undergruppe N af index 2 i  G er altid normal. Hvis en undergruppe N i  G er normal skrives det som  N \trianglelefteq G .

Normale undergrupper opfylder generelt ikke den transitive lov. Således gælder IKKE  A \trianglelefteq B, B \trianglelefteq C \Rightarrow A \trianglelefteq C .

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

Dette motiverer til at definere Subnormale undergrupper.

 H\subseteq G  kaldes en subnormal undergruppe, hvis der findes en række af normale undergrupper fra H til  G . 
Dvs.  H=G_0 \trianglelefteq G_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq G_r=G 
hvor  G_i \trianglelefteq G_{i+1} . Vi skriver  H \trianglelefteq \trianglelefteq G  når H er subnormal i G. Vi kalder r for længden af rækken.

Der findes nødvendigvis ikke kun en række af normale undergrupper fra H til G. En række fra H til G kaldes en minimalrække, hvis den har længde r og ingen række har længde  \leq r-1 . Vi skriver længden af en minimalrække fra H til G som  |G-H| . Har vi givet længden af en minimalrække gælder følgende:

  •  r=0 \Rightarrow H=G
  •  r=1  \Rightarrow H \trianglelefteq G
  •  r< 1 \Rightarrow H \trianglelefteq\trianglelefteq G

Hvis alle undergrupper i en endelig gruppe G er subnormale så er gruppen nilpotent og omvendt. Denne sammenhæng er vist nederst på siden.

Lad  G = S_4 , den symmetriske gruppe bestående af permutationer af 4 elementer.  S_4 har orden 4! = 24.  S_4 er ikke abelsk da eksempelvis  (12)(13) \neq (13)(12) . Lad K være Klein's Vierer-gruppe,  K = \{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} , så  K \subset G . K er abelsk, og der findes en undergruppe  H = \{(1),(12)(34)\} af orden 2 i K så  H \trianglelefteq K . Vi kan nu tage alle  g \in S_4 og se at  gK = Kg . Vi har altså fundet  H \trianglelefteq  K \and K \trianglelefteq G , men da H ikke er normal i G, har vi her et eksempel på, at den transitive lov ikke generelt gælder for normale undergrupper.


Hvis  A \trianglelefteq\trianglelefteq B \trianglelefteq\trianglelefteq G så er  A \trianglelefteq\trianglelefteq G og  |G-A| \leq |G-B|+|B-A| .

Bevis Antag  A \trianglelefteq\trianglelefteq B \trianglelefteq\trianglelefteq G , dvs. at der �findes  A = H_0 \trianglelefteq H_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq H_n = B = K_0 \trianglelefteq K_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq K_m = G Det ses altså, at der er en kæde af normale undergrupper fra A og op til G og idet  H_n = K_0 er  A \trianglelefteq\trianglelefteq G . Fra antagelsen er  A \trianglelefteq\trianglelefteq B og  B \trianglelefteq\trianglelefteq G , kan vi finde minimalrækker. Sæt  |G-B| = m og  |B-A| = n . Som vist ovenfor findes der en kæde af normale undergrupper fra A til G af længde m + n, som ikke nødvendigvis er en minimalrække. En minimalrække fra A til G har derfor længde  \leq m + n . Alstå  |G-A| \leq |G-B| + |B-A| .

Nilpotent[redigér | redigér wikikode]

Vi definere en serie af undergrupper af en vilkårlig gruppe G ved: Den aftagende centralrække for G

 G=L_1 (G)\geq L_2 (G) \geq \cdots \geq L_c (G) \geq \cdots

er fastlagt ved at

 L_1 (G)=G, L_i (G)=[L_{i-1} (G), G]\quad for\,\, i\geq 2

Den voksende centralrække for G

 {1}=Z^0 (G)\leq Z^1 (G) \leq \cdots \leq Z^c (G) \leq \cdots

er fastlagt ved

 Z^0 (G)={1}, Z^i (G)/Z^{i-1} (G)=Z(G/Z^{i-1}(G))\quad for\,\, i\geq 2

Definition En gruppe G kaldes nilpotent hvis der findes et  m \geq 0  Z^m(G) = G . Det mindste tal m med  Z^m(G) = G kaldes nilpotensklassen af G. Man siger så, at G er nilpotent af klasse m.

Sætning: For en endelig gruppe G er følgende betingelser ækvivalente:

  1. G er nilpotent.
  2. For enhver undergruppe  H \neq G er  N_G(H) \neq H .
  3. For alle primtal p har G en normal p-Sylow gruppe.
  4. G er et direktet produkt af sine Sylow grupper.

Egenskaber[redigér | redigér wikikode]

Her følger et par resultater som viser nogle af de egenskaber der findes omkring subnormale undergrupper.

Lemma Lad  S \trianglelefteq\trianglelefteq G , hvor G er en gruppe, og antag  K \subseteq G er en vilkårlig undergruppe, så er  S \cap K \trianglelefteq\trianglelefteq K .

Korollar Lad S og T være subnormale undergrupper i G, så er  S \cap T \trianglelefteq\trianglelefteq G .

Sætning Lad G være en endelig gruppe og antag at  S,T \trianglelefteq\trianglelefteq G . Så er  \left\langle S,T\right\rangle \trianglelefteq\trianglelefteq G .

Sætning Lad G være endelig. G er nilpotent hvis og kun hvis enhver undergruppe af G er subnormal.

Bevis: "  \Leftarrow " Antag at alle undergrupper af G er subnormale. Lad H være en vilkårlig ægte undergruppe i G, hvor H er subnormal i G. Så findes der række af normale undergrupper  H = H_0 \trianglelefteq H_1 \trianglelefteq \cdots \trianglelefteq H_r = G hvor  r > 0 , da ellers H=G. Så der findes  H \in H_1 . Da H  \triangleleft H_1 gælder at  H_1 \subseteq N_G(H) (normalisatoren), så da  H \neq G er  H \neq N_G(H) . Dette er ækvivalent til at G er nilpotent. "  \Rightarrow " Antag nu at G er nilpotent, så  H \subset N_G(H) , hvor  H \subset G . Givet et H vises ved induktion (matematik) efter index  |G:H| at  H \trianglelefteq\trianglelefteq G . Hvis index er 1 må H=G, og der er ikke noget at vise. Antag derfor nu at  |G:H| > 1 . Så er  H \subset G og  H \subset N_G(H) , dette betyder at  |G:N_G(H)| < |G:H| . Fra vores induktionsantagelse vil det sige, at  N_G(H) er subnormal i G. Dvs. at  H \trianglelefteq N_G(H) \trianglelefteq\trianglelefteq  G \Rightarrow H \trianglelefteq\trianglelefteq  G