Absolut konvergens

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Absolut konvergens bruges inden for matematikken til at beskrive en særlig form for konvergens ved uendelige rækker; dvs. uendeligt mange led lagt sammen. Ved absolut konvergens går summen mod en bestemt værdi, når alle leddene antager numeriske, dvs. absolutte værdier. Det gælder da yderligere, at også rækken med ikke-numeriske led konvergerer.[1]

Matematisk notation[redigér | redigér wikikode]

Ved matematisk notation har man en uendelig række:

\sum_{n=1}^\infty a_n

Ved absolut konvergens gælder det, at

\sum_{n=1}^\infty |a_n|

konvergerer eller går mod en bestemt sum. Som følge deraf gælder det yderligere, at

\sum_{n=1}^\infty a_n

også konvergerer.[1]

Bevis[redigér | redigér wikikode]

At rækken konvergerer, når den konvergerer absolut, kan bevises.

Først defineres et hjælpeled b_n givet ved

b_n=a_n+|a_n|

De numeriske led må nødvendigvis være større end eller lig med de ikke-numeriske led. Ligeledes må de numeriske led tilføjet et negativt fortegn være mindre eller lige med den ikke-numeriske led. Dvs.

-|a_n| \le a_n \le |a_n|

Ud fra udtrykket for b_n må det gælde, at

0 \le b_n \le 2|a_n|

Da rækken af |a_n| konvergerer, konvergerer rækken med dobbelte led også. Siden summen af leddene b_n ligger i intervallet mellem denne konvergens og nul, må rækken med b_n også konvergerer. Ved at lave følgende udtryk for a_n

a_n=b_n-|a_n|

ses det, at leddene a_n kan udtrykkes ved leddene i konvergente rækker. Altså gælder det, at

\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty b_n-\sum_{n=1}^\infty |a_n|

En konvergent sum minus en anden konvergent sum må nødvendigvis give en konvergent sum. Det er hermed bevist, at

\sum_{n=1}^\infty a_n

er en konvergent række, når der er absolut konvergens.[1]

Fodnoter[redigér | redigér wikikode]

  1. 1,0 1,1 1,2 Adams, Robert A.; Essex, Christopher. "Sequences, Series, and Power Series", Calculus: A Complete Course (7. udgave), Pearson Canada Inc. 2010, Toronto, s. 520. ISBN 978-0-321-54928-0.

Kilder[redigér | redigér wikikode]

  • Adams, Robert A.; Essex, Christopher. "Sequences, Series, and Power Series", Calculus: A Complete Course (7. udgave), Pearson Canada Inc. 2010, Toronto, s. 520. ISBN 978-0-321-54928-0.