Besselfunktion

Eftersyn Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Inden for matematik er en Besselfunktion en løsning til differentialkvotienten

$\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{du}{dx} + \left(1 - \frac{\alpha^2}{x^2}\right)u = 0$.

Udtrykket kommer når man kigger på den radielle deling af Laplaces ligning i et polært koordinatsystem.

Funktionen er opkaldt efter Friedrich Wilhelm Bessel, men blev først beskrevet af Daniel Bernoulli.

Definition

Besselfunktioner af første grad defineres ved :

$J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}$.

Differentialkvotienten har to lineært uafhængige løsninger og derfor også besselfunktioner af anden grad:

$Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},$.

$Y_\alpha(x)$ er ikke begrænset da $x \to 0$, hvilket gør at man ofte kan se bort fra denne løsning af fysiske årsager.

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Besselfunktion

Sfæriske besselfuntioner

I samarbejde med med Laplaces ligning i sfæriske koordinater kommer et lignende udtryk for den radielle del:

$\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{2}{x} \frac{du}{dx} + \left(1 - \frac{n(n+1)}{x^2}\right)u = 0.$

Denne har de sfæriske besselfunktioner som løsninger.

$j_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),$

$y_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).$