Polært koordinatsystem

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
To punkter med tilhørende koordinatsæt angivet vha. polære koordinater

Et polært koordinatsystem er en type af koordinatsystem, som tager udgangspunkt i polære koordinater til forskel fra de sædvanlige rektangulære, som er at finde i et kartesisk koordinatsystem.

Princippet i polære koordinater er at man angiver alle punkter ved hjælp af følgende to informationer:

Disse to ting kan beregnes på følgende måde, ud fra punktets position i det kartesiske koordinatsystem.

\theta = \arctan{ y \over x } + \varepsilon \cdot \pi + 2\pi \cdot n, \quad x \neq 0

 r = \sqrt{x^2 + y^2}

Bemærk:

  • ε = 0 når x er positiv, ε = 1 når x er negativ.
  • n er et heltal; for hver mulig værdi af θ kan man finde en anden mulig værdi ved at addere eller subtrahere 2π.
  • Vinklen er π/2 hvis x er 0, og y er positiv. Ligeledes er vinklen 3π/2 hvis x er 0 og y er negativ.

Når disse beregninger er udført angives punktet så på følgende måde, jf. definitionerne på hhv. sinus og cosinus.


\begin{matrix}
x = r \cdot \cos(\theta)\\
y = r \cdot \sin(\theta)
\end{matrix}

Anvendelse af polære koordinater[redigér | redigér wikikode]

En cirkel

Grundet definitionen på et punkt i et polært koordinatsystem, opstår der visse fordele i anvendelsen af polære koordinater i forhold til hvad man kan opnå med rektangulære. Særligt fordelagtigt er det at bruge polære koordinater til cykliske figurer, eller hvor der blot indgår noget cirkulært. Det simpleste tænkelige eksempel er at fremstille en cirkel. Her er forskriften for en cirkel med radius 1.


\left.
\begin{matrix}
x = r \cdot \cos(\theta)\\
y = r \cdot \sin(\theta)
\end{matrix}
\right\} \quad , r = 1 \quad , \quad \theta \in [0 , 2\pi[

Længden til det løbende punkt, sættes altså konstant til at være lig én, hvilket altså er afstanden fra origo til periferien. Dernæst sættes vinklen til at variere mellem 0 og 2π eksklusiv (eller 0 og 360° i vinkler), hvorved hele cirklen medtages.