Bruger:AstroOgier/Prototypekilogrammets dimensioner

Det oprindelige prototypekilogram og dets kopier var fremstillet af en legering af ædelmetallerne platin og iridium med 90% platin og 10% iridium (for at øge hårdheden) og formen var specificeret til at være en cylinder med samme højde $h$ og diameter $d$ (for at minimere overfladearealet).

I det følgende beregnes, hvilken værdi $h$ og $d$ skal have for at opfylde kravene og det begrundes, at en cylinder med $h=d$ faktisk har mindst overfladeareal.

Prototypekilogrammets dimensioner

Volumen af en cylinder med højde $h$ og diameter $d$:	$V=\pi /4\cdot d^{2}\cdot h$
Volumen af en cylinder med $h=d$:	$V=\pi /4\cdot d^{3}$
Masse af cylinderen:	$m=1{\text{ kg}}=1000{\text{ g}}$
Massebrøk for platin:	$k=0.9000$
Massebrøk for iridium:	$1-k=0.1000$
Densiteten af platin:	$\rho _{\text{Pt}}=19.77{\text{ g/cm}}^{3}$
Densiteten af iridium:	$\rho _{\text{Ir}}=22.56{\text{ g/cm}}^{3}$
Masse af platin:	$m_{\text{Pt}}=k\cdot m=900.0{\text{ g}}$
Masse af iridium:	$m_{\text{Ir}}=(1-k)\cdot m=100.0{\text{ g}}$
Volumen af platin:	$V_{\text{Pt}}=m_{\text{Pt}}/\rho _{\text{Pt}}=45.52352{\text{ cm}}^{3}$
Volumen af iridium:	$V_{\text{Ir}}=m_{\text{Ir}}/\rho _{\text{Ir}}=4.432624{\text{ cm}}^{3}$
Volumen af cylinderen:	$V=V_{\text{Pt}}+V_{\text{Ir}}=49.95614{\text{ cm}}^{3}$
Densiteten af cylinderen:	$\rho =m/V=20.02{\text{ g/cm}}^{3}$
Højde og diameter af cylinderen:	$h=d={\sqrt[{3}]{4\cdot V \over \pi }}=3.992{\text{ cm}}=\mathbf {39.92{\text{ mm}}}$

Mindste overfladeareal af en cylinder med givet volumen V

En ret cirkulær cylinder med radius radius $r=d/2$ og højde $h$.

Overfladen $O$ af en cylinder med højde $h$ og diameter $d$ udgøres af de to endeflader, hver med arealet $\pi /2\cdot d^{2}$ og af den krumme cylinderflade med arealet $\pi \cdot d\cdot h$:

$O=\pi /2\cdot d^{2}+\pi \cdot d\cdot h$

Cylinderens volumen blev angivet i forrige afsnit:

$V=\pi /4\cdot d^{2}\cdot h$

Heraf isoleres $h$:

$h={4\cdot V \over \pi \cdot d^{2}}$.

Da volumen $V$ har en given, fast værdi, afhænger $h$ kun af $d$. Den fundne $h$-værdi indsættes i udtrykket for $O$:

$O=\pi /2\cdot d^{2}+{4\cdot V \over d}$

Vi ser, at $O$ er positiv og går mod uendelig både for $d$ gående mod 0 og for $d$ gående mod uendelig. $O$ må derfor have en mindsteværdi, som vi kan bestemme ved hjælp af differentiation:

${\operatorname {d} \!O \over \operatorname {d} \!d}=\pi \cdot d-{4\cdot V \over d^{2}}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad d^{3}={4\cdot V \over \pi }\qquad \Leftrightarrow \qquad d={\sqrt[{3}]{4\cdot V \over \pi }}=\left({\frac {4\cdot V}{\pi }}\right)^{1/3}$

Dette minimumssted indsættes i formlen for højden $h$:

$h={4\cdot V \over \pi }\cdot d^{-2}=\left({\frac {4\cdot V}{\pi }}\right)^{1}\cdot \left({\frac {4\cdot V}{\pi }}\right)^{-2/3}=\left({\frac {4\cdot V}{\pi }}\right)^{1/3}=d$

Vi har dermed vist det ønskede resultat: $h=d$.