Diskriminant

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Diskriminanten er et matematisk udtryk som hører til inden for algebra og som generaliseres til forskellige algebraiske strukturer.

For polynomier udregnes diskriminanten ud fra koefficienterne og den har den generelle egenskab at den er lig med nul hvis og kun hvis polynomiet har multiple rødder (f.eks. en dobbeltrod).

For andengradspolynomiet, ax^2 + bx + c\,\!, bliver diskriminanten:

b^2-4ac\,\!

For tredjegradspolynomiet, ax^3 + bx^2 + cx + d\,\!, bliver diskriminanten:

b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,\!

Polynomiumsrødder[redigér | redigér wikikode]

Mere generelt kan man skrive diskriminanten ud fra et polynomiums rødder. Givet et n'te-gradpolynomium

p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0

med de komplekse rødder r1, ..., rn (talt med multiplicitet, så der vil være netop n rødder), så udregnes diskriminanten ud fra produktet af differenserne mellem de enkelte rødder:

D = a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}

Hvis polynomiet har en multipel rod vil et af faktorerne i dette produkt blive nul og diskriminanten vil følgelig blive nul.

Man kan slutte visse forhold om rødderne ud fra diskriminantens værdi. For et andengradspolynomium gælder:

Hvis D>0 er der to forskellige reelle rødder.
Hvis D=0 er der en reel dobbeltrod.
Hvis D<0 er der ingen reelle rødder, men derimod to konjugerede komplekse rødder.

For et tredjegradspolynomium gælder:

Hvis D>0 er der tre forskellige reelle rødder.
Hvis D=0 er der en reel dobbelt- eller tredobbeltrod.
Hvis D<0 er der en reel rod og to konjugerede komplekse rødder.