Ellipsoide

En ellipsoide er en lukket flade i et 3-dimmensionalt rum. Man kan tænke på den som en 3D analogi til ellipsen, på samme måde som kuglen er det for en cirkel.

Beskrivelse

Tri-aksial ellipsoide med forskellige halv-akser a, b og c

Omdrejnings-ellipsoide (sfæroide) med to ens halv-akser (a) og en tredje halv-akse (c) som også er symmetriaksen. Ellipsoiden er oblat hvis c er mindre end a, og prolat hvis c større end a.

Standardligningen for en ellipsoide centeret i origo af et Kartesisk koordinatsystem er:

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1$

Hvor a, b, c er længden af de tre halv-akser målt på hhv. x-, y- og z-aksen.

Undertyper

Man kan underinddele ellipsoiden i fire forskellige tilfælde på baggrund af halv-aksernes indbyrdes længde:

• $a>b>c$ — tri-aksial ellipsoide
• $a=b>c$ — oblat omdrejningsellipsoide (oblat sfæroide)
• $a=b<c$ — prolat omdrejningsellipsoide (prolat sfæroide)
• $a=b=c$ — trivial tilfældet, en kugle

Rumfang

Rumfanget (V) af en ellipsoide er givet ved formlen:

$V= \frac{4}{3}\pi abc$

Bemærk, at ligningen reduceres til rumfanget for en kugle når alle tre elliptiske radier er ens.

Overfladeareal

Overfladearealet (S) af en generel (tri-aksial) ellipsoide er

$S=2\pi c^2+ \frac{2\pi ab}{\sin\phi} \left(E(\phi,k)\, \sin^2\phi + F(\phi,k)\, \cos^2\phi \right),$

hvor

$\cos\phi = \frac{c}{a}, \qquad k^2 =\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}, \qquad a\ge b \ge c,$

og F(φ,k), E(φ,k) er ukomplette elliptiske integraler af første og anden art respektivt. [1]

For omdrejningsellipsoiden kan udtrykket reduceres til:

$S_{\rm oblat} = 2\pi a^2\left(1+\frac{1-e^2}{e}\tanh^{-1}e\right) \quad\mbox{hvor}\quad e^2=1-\frac{c^2}{a^2}\quad(c<a).$

$S_{\rm prolat} = 2\pi a^2\left(1+\frac{c}{ae}\sin^{-1}e\right) \quad\qquad\mbox{hvor}\;\quad e^2=1-\frac{a^2}{c^2}\quad(c>a).$

I begge tilfælde kan e betragtes som excentriciteten af den ellipse der fremkommer ved et tværsnit gennem symmetriaksen.

Eksempler på ellipsoidelignende figurer i den virkelige verden

• Prolat-lignende: Bolden i rugby og amerikansk fodbold.
• Oblat-lignende: Grapefrugt, klassisk afrundet pille, planeter (herunder Jorden) samt de fleste dværgplaneter.
• Triaksial-lignende: Dværgplaneten Haumea, der roterer så hurtigt at den formentlig antager en triaksial ellipsoide form.

Benævnelser

Matematisk litteratur bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'tri-aksial ellipsoide'.

Videnskabelig litteratur (især geodæsi) bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide' og benytter kun adjektivet 'tri-aksial' i det generelle tilfælde.

Ældre litteratur bruger 'sfæroide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide'.

Ethvert plant snit gennem ellipsoidens centrum giver en ellipse (og en cirkel, hvis snitplanet er vinkelret på en omdrejningsellipsoides symmetriakse).

Ellipsoider i kartografi

Indenfor kartografien benyttes oblate omdrejningsellipsoider, kaldet referenceellipsoider, til at koordinatsætte punkter på Jorden.