Ellipsoide

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En ellipsoide er en lukket flade i et 3-dimmensionalt rum. Man kan tænke på den som en 3D analogi til ellipsen, på samme måde som kuglen er det for en cirkel.

Beskrivelse[redigér | redigér wikikode]

Tri-aksial ellipsoide med forskellige halv-akser a, b og c
Omdrejnings-ellipsoide (sfæroide) med to ens halv-akser (a) og en tredje halv-akse (c) som også er symmetriaksen. Ellipsoiden er oblat hvis c er mindre end a, og prolat hvis c større end a.

Standardligningen for en ellipsoide centeret i origo af et Kartesisk koordinatsystem er:

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1

Hvor a, b, c er længden af de tre halv-akser målt på hhv. x-, y- og z-aksen.

Undertyper[redigér | redigér wikikode]

Man kan underinddele ellipsoiden i fire forskellige tilfælde på baggrund af halv-aksernes indbyrdes længde:

  • a>b>ctri-aksial ellipsoide
  • a=b>coblat omdrejningsellipsoide (oblat sfæroide)
  • a=b<cprolat omdrejningsellipsoide (prolat sfæroide)
  • a=b=c — trivial tilfældet, en kugle


Rumfang[redigér | redigér wikikode]

Rumfanget (V) af en ellipsoide er givet ved formlen:

 V= \frac{4}{3}\pi abc

Bemærk, at ligningen reduceres til rumfanget for en kugle når alle tre elliptiske radier er ens.

Overfladeareal[redigér | redigér wikikode]

Overfladearealet (S) af en generel (tri-aksial) ellipsoide er[1][2]


S=2\pi c^2+ \frac{2\pi ab}{\sin\phi}
\left(E(\phi,k)\, \sin^2\phi  + F(\phi,k)\, \cos^2\phi \right),
hvor
 
\cos\phi = \frac{c}{a}, \qquad
k^2 =\frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}, \qquad
a\ge b \ge c,

og F(φ,k), E(φ,k) er ukomplette elliptiske integraler af første og anden art respektivt. DLMF: §19.2 Definitions


For omdrejningsellipsoiden kan udtrykket reduceres til:

S_{\rm oblat} =  2\pi a^2\left(1+\frac{1-e^2}{e}\tanh^{-1}e\right)
\quad\mbox{hvor}\quad e^2=1-\frac{c^2}{a^2}\quad(c<a).
S_{\rm prolat} =  2\pi a^2\left(1+\frac{c}{ae}\sin^{-1}e\right)
\quad\qquad\mbox{hvor}\;\quad e^2=1-\frac{a^2}{c^2}\quad(c>a).

I begge tilfælde kan e betragtes som excentriciteten af den ellipse der fremkommer ved et tværsnit gennem symmetriaksen.


Eksempler på ellipsoidelignende figurer i den virkelige verden[redigér | redigér wikikode]


Benævnelser[redigér | redigér wikikode]

Matematisk litteratur bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'tri-aksial ellipsoide'.

Videnskabelig litteratur (især geodæsi) bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide' og benytter kun adjektivet 'tri-aksial' i det generelle tilfælde.

Ældre litteratur bruger 'sfæroide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide'.

Ethvert plant snit gennem ellipsoidens centrum giver en ellipse (og en cirkel, hvis snitplanet er vinkelret på en omdrejningsellipsoides symmetriakse).


Ellipsoider i kartografi[redigér | redigér wikikode]

Indenfor kartografien benyttes oblate omdrejningsellipsoider, kaldet referenceellipsoider, til at koordinatsætte punkter på Jorden.


Kilder[redigér | redigér wikikode]

  1. F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, editors, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press), kan findes på nettet DLMF: §19.33 Triaxial Ellipsoids (see next reference).
  2. NIST (National Institute of Standards and Technology) på National Institute of Standards and Technology 29. dec. 2012