Homomorfi

Betegnelsen homomorfi benyttes om en afbildning $\phi:G\to H$ som bevarer matematiske strukturer. Kriterierne for homomorfi afhænger altså af hvordan G og H betragtes som matematiske objekter (se eksempler nedenfor).

En bijektiv homomorfi hvis inverse også er en homomorfi, kaldes for en isomorfi. Undertiden bruges betegnelserne monomorfi og epimorfi for en injektiv henholdsvis surjektiv homomorfi.

Er G=H, taler man om en endomorfi. En isomorfi der også er en endomorfi $\phi:G\to G$, kaldes en automorfi.

I det følgende beskrives kort homomorfi for grupper, ringe og legemer.

Gruppehomomorfi

Lad der være givet grupper $G$ og $H$. Da er $\phi:G\to H$ en gruppehomomorfi hvis der for hvert $a,b\in G$ gælder $\phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b)$.

Bemærk, at der for vilkårligt $a\in G$ gælder $\phi(a)^{-1} = \phi(a)^{-1}\phi(aa^{-1}) = \phi(a)^{-1}\phi(a)\phi(a^{-1}) = \phi(a^{-1})$, samt $\phi(1_G) = \phi(aa^{-1}) = \phi(a)\phi(a)^{-1} = 1_H$.

For en givet gruppe $G$ udgør automorfierne på $G$ sammen med funktionssammensætning en gruppe. Denne kaldes for $G$s automorfigruppe, og benævnes i reglen $Aut(G)$

Ringhomomorfi

Lad $R,P$ være kommutative ringe. Da kaldes en afbildning $\phi:R\to P$ for en ringhomomorfi (eller, hvis det er underforstået, blot en homomorfi), hvis følgende er opfyldt:

1. $\phi(1_R) = 1_P$
2. $\forall a,b\in R: \phi(a\cdot b) = \phi(a)\cdot \phi(b)$
3. $\forall a,b\in R: \phi(a+b) = \phi(a) + \phi(b)$.

Hvis man ikke kræver, at ringen har et multiplikativt neutralt element, bortfalder naturligvis det første krav.

Se også

• homeomorfi

Stub Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.