Logaritme

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Graferne for den naturlige logaritm (ln(x)), logaritmen med grundtal 2 (log_2(x)) og logaritmen med grundtal \tfrac{1}{2}.

Logaritmer er en klasse af matematiske funktioner \log_a, der opfylder

\log_a(a^x)=x\,

for alle x. a kaldes for logaritmens grundtal. \log_a(y) er altså det tal (den potens), som a skal opløftes i, for at få y, og er derfor den inverse funktion til eksponentialfunktionen a^x.

Eksempel[redigér | redigér wikikode]

Tager man for eksempel \log_{10}(100) er resultatet 2, fordi 10^{2}=100.

Logaritmetabeller[redigér | redigér wikikode]

Før regnemaskinerne blev udbredt, brugte man i stor stil logaritmetabeller med "færdigberegnede" logaritmer til en masse tal, til at lette regnearbejdet med. Eksempel: Skulle man gange to tal med hinanden, slog man tallenes logaritme op i tabellerne, lagde tallenes logaritmer sammen, hvorefter man fandt gangeresultatet ved at tage summens antilogaritme i en anden tabel. De to mest anvendte logaritmer er 10-talslogaritmen med grundtal 10 og den naturlige logaritme med grundtallet e (2,71828...). Den naturlige logaritme er defineret som

\log_e(x)=\int_1^x\frac{1}{y}dy

Naturlige logaritme[redigér | redigér wikikode]

Matematikere kalder ofte den naturlige logaritme for blot logaritmen (log), mens de pointerer 10-tallet i 10-talslogaritmen (log10). Omvendt er ingeniørerens logaritme (log) den med grundtallet 10, og den naturlige logaritme betegnes ln. Da ingeniørerne var dem, der konstruerede lommeregneren, har deres betegnelser vundet indpas på dette hjælpemiddel, som til en vis grad har overflødiggjort den tidligere anvendelse af logaritmetabeller. [Kilde mangler]

Anvendelse[redigér | redigér wikikode]

Eksempel på en logaritmisk skala

Logaritmer bruges bl.a. i udregning af visse enheder og værdier, ligesom logaritmiske skalaer ofte ses i koordinatsystemerne til visse grafer.

Regneregler[redigér | redigér wikikode]

Logaritmerne spiller en central rolle i matematikken, hvilket skyldes følgende regneregler, som kan benyttes til at omdanne vanskelige multiplikationer eller divisioner til mere simple additioner eller subtraktioner. For positive reelle tal a og b og et reelt tal x, gælder der, at

  • \log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)
  • \log(\tfrac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)
  • \log(a^x) = x\log(a)\,.

Regnereglerne gælder generelt for alle logaritmer af vilkårlige base, inklusiv den naturlige logaritme.

Omregning til andre baser[redigér | redigér wikikode]

En logaritme kan omregnes fra en base til en anden med følgende formel:

 \log_a(x) = \frac {\log_b(x)} {\log_b(a)}

Denne formel kan udledes på følgende måde:

 a^{\log_a(x)}=x
 \log_b(a^{\log_a(x)}) = \log_b(x)
 \log_a(x) \cdot \log_b(a) = \log_b(x)
 \log_a(x) = \frac {\log_b(x)} {\log_b(a)}

Se også[redigér | redigér wikikode]

Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til: