Naturlig logaritme

Graf for den naturlige logaritme, $y=\ln(x)$. Funktionen går mod minus uendelig når $x$ går mod nul. Funktionen går langsomt mod uendelig for $x$ gående mod uendelig.

Den naturlige logaritme, $\ln$ er logaritmen med grundtallet e$\approx 2.718281828$, for hvilken der gælder at

$\ln\left( e^t \right) = t$

for alle reelle værdier af $t$. Den naturlige logaritme er dermed den inverse funktion af eksponentialfunktionen.

Til forskel fra andre logaritmer, der som oftest betegnes $\log_{n}(x)$, hvor n repræsenterer grundtallet, bruger man hyppigst blot notationen $\ln(x)$ for den naturlige logaritme. Visse steder i litteraturen benyttes dog, lidt misvisende, $\log(x)$ til at betegne den naturlige logaritme.

Definition

Den naturlige logaritme i punktet $a>0$ er defineret som integralet af funktionen $1/x$ fra 1 til $a$

$\ln(a) \equiv \int_1^a\frac{1}{x}\,dx$.

Definitionen på den naturlige logaritme af $a$, givet ved arealet under $1/x$, fra $1$ til $a$. For $a=e$ er arealet eksakt $1$.

Regneregler

Definitionen understøtter følgende vigtige regneregel for logaritmer:

$\ln\left(ab\right) = \ln\left(a\right) + \ln\left(b\right) \mbox{ for } a,b>0,$

hvilket kan vises ved at benytte substitutionen $t = \dfrac{x}{a}$ som vist her

$\ln\left(ab\right)$	$= \int_1^{ab} \frac{1}{x}dx$
	$= \int_1^a \frac{1}{x}dx + \int_a^{ab} \frac{1}{x}dx$
	$= \int_1^a \frac{1}{x}dx + \int_1^b \frac{1}{t}dt$
	$= \ln\left(a\right) + \ln\left(b\right)\,.$

De følgende to regneregler kan vises på lignende måde ud fra definitionen:

$\ln \left({a \over b} \right) = \ln \left(a) - \ln(b \right)$

$\ln \left({a \over b} \right) = -\ln \left({b \over a} \right)$

Derudover gælder også:

$\ln{\left(a^x\right)} = x \cdot \ln{(a)}$

$e^{\ln{\left(a\right)}} = a$

Differentiation og integration

Differentialkvotienten af $\ln(x)$ er givet ved følgende:

${d\over dx} \left( \ln(x) \right) = {1\over x}\,,$

hvilket følger umiddelbart af definitionen.

Det ubestemte integral af $\ln(x)$ er givet ved

$\int{\left(\ln(x)\right) \textrm{d}x} = x\left(\ln \left( x \right) -1\right) + c\,.$

Rækkerepræsentationer

Illustration af hvorledes rækken $\sum_{k=1}^n(-1)^{(k-1)}\frac{(x-1)^k}{k}$ konvergerer mod $\ln(x)$ for $0<x \leq 2$ for et stigende antal led $n$ i rækken.

Maclaurinrækken for funktionen $\ln(1+x)$ kaldes Mercators række og er givet ved

$\begin{align} \ln\left(1+x\right) &= x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \cdots\\ &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{(n-1)}\frac{x^n}{n} \qquad \text{ for } -1 < x \leq 1 \end{align}$

Foretages substitutionen $x \rightarrow x-1$, finder man følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme:

$\begin{align} \ln\left(x\right) &= (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \cdots\\ &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{(n-1)}\frac{(x-1)^n}{n} \qquad\text{ for } 0 < x \leq 2 \end{align}$

Denne række, er den simpleste rækkerepræsentation for den naturlige logaritme, men den konvergerer kun forholdsvis langsomt og er altså kun gyldigt i et mindre værdiområde.

Ved at kombinere Mercators række med de basale regneregler for den naturlige logaritme kan man fremkomme med andre interessante rækkerepræsentationer. Foretager man f.eks. substitutionen $x \rightarrow -x$ skifter fortegnet på alle de ulige led i Mercators rækken

$\begin{align} \ln\left(1-x\right) &= (-x) - \frac{1}{2}(-x)^2 + \frac{1}{3}(-x)^3 - \frac{1}{4}(-x)^4 + \cdots\\ &= -x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \cdots, \quad\text{ for } -1 \leq x < 1 \end{align}$

Ved hjælp af rækkerepræsentationerne for $\ln\left(1+x\right)$ og $\ln\left(1-x\right)$ findes da

$\begin{align} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) &= \ln\left(1+x\right) - \ln\left(1-x\right) \\ &= 2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5 + \cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1}x^{2n+1}\mbox{ for } |x|<1\\ \end{align}$

Dette er en interessant række, idet argumentet $(1+x)/(1-x)$ antager alle mulige positive reelle værdier for $|x|<1$. Dette kan benyttes til at udlede en generel rækkerepræsentation for $\ln(x)$ gældende for hele funktionens værdiområde. Hvis vi definerer

$t=\frac{x-1}{x+1}$

Illustration af hvorledes rækken $\sum_{k=0}^n \frac{2}{2k+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1}$ konvergerer mod $\ln(x)$ for et stigende antal led $n$ i rækken.

kan vi udtrykke $x(t)$ som

$x=\frac{1+t}{1-t}\,.$

Derved findes følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme

$\begin{align} \ln\left(x\right) &= \ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \\ &= 2t + \frac{2}{3}t^3 + \frac{2}{5}t^5 + \cdots \\ &= 2\cdot\frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^3 + \frac{2}{5}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5 + \cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}\quad\text{ for } x>0 \end{align}$

som altså er gældende for alle positive reelle tal. Rækken konvergerer hurtigst for værdier omkring $x = 1$, som vist i figuren.

Specielle værdier

Af definitionen på den naturlige logaritme fremgår det at

$\ln\left(1\right) = 0\,.$

Indsættes $x=1$ i Maclaurin rækken for $\ln(1+x)$ fremkommer den alternerende harmoniske række

$\ln\left(2\right)$	$=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{(n-1)}\frac{1}{n}$
	$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$
	$\simeq 0.69314718055994530941723212145818\ldots$