Luftmodstand

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg
Disambig bordered fade.svg For alternative betydninger, se Modstand.
Broom icon.svg Der mangler kildehenvisninger i denne artikel.
Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande som fremføres i artiklen.
Question book-4.svg
Searchtool.svg Eftersyn
Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Luftmodstand er den modstand et legeme der bevæger sig gennem luft oplever. Studier af luftmodstanden er en del af Strømningslæren. Et aerodynamisk legeme er et legeme hvor luftmodstanden er relativ lille.

Fald med luftmodstand[redigér | redigér wikikode]

På grund af luftens kaotiske natur er det umuligt at opstille en entydig matematisk model for luftmodstanden. Det er simpelthen umuligt at beregne hvordan hvert enkelt af de billioner af molekyler der er i luften vil opføre sig når de støder på et legeme i bevægelse. Alligevel har man for specielle tilfælde opstillet brugbare matematisk modeller. Eksempler på sådanne modeller inkluderer modellerne for fald med luftmodstand.

Partikler og små hastigheder[redigér | redigér wikikode]

I en af modellerne for fald med luftmodstand formodes det, at den kraft luften påvirker det faldende legeme med er proportional med legemets hastighed:

 \mathbf{F}_m = - k \mathbf{v} \,

Hvor

k er en konstant der blandt andet hænger sammen med luftens tæthed og legemets form og tværsnitsareal
v er legemets hastighed

Hastighedsfunktionen for faldet kan findes ved hjælp af algebra og ser således ud:

v(t) = \frac{mg}{k}\left(1-e^{-k(t-t0)/m}\right)

Hvor

m er massen af legemet
g er tyngdeaccelerationen, der typisk har en værdi på 9,82 m/s²
t0 er det tidspunkt hvor faldet starter
t er tiden

Efterhånden som t bliver større vil hastigheden nærme sig den endelige faldhastighed asymptotisk

 v_{e} = \frac{mg}{k}

Denne model er mest brugbar til legemer af partikel størrelse ved relativt små hastigheder.

Tabet er størst på opturen.

Medtages ikke-konservative kræfters arbejde er der atter energibevarelse. Bevæger en partikel m sig mellem punkterne A og B under påvirkning af både konservative og ikke-konservative kræfter, lyder energibevarelsen

(E_{kin}(A) + E_{pot}(A)) - (E_{kin}(B) + E_{pot}(B)) = -W_{AB} (*)

hvor W_AB er de ikke-konservative kræfters arbejde på partiklen under dens bevægelse fra A til B. De ikke-konservative kræfter er ofte (som i nærværende tilfælde) friktionskræfter. Da disse er modsat rettede bevægelsesretningen er W_{AB} < 0 og dermed  -W_{AB} > 0 . På grund af de ikke-konservative kræfters arbejde, vil den mekaniske energi derfor mindskes.

Lad nu punkt A være startpunktet (= nulpunktsniveau for den potentielle energi), B toppunktet og C=A være nedslagspunktet. Ligning (*) opskrives da for både op- og nedtur:

op : ½m(v_A)^2 – mgh_B= -W_op ned : mgh_B – ½m(v_C)^2 = -W_ned

Da v_A = 16.0 m/s, v_C = 14.8 m/s er v_A > v_C. Af de to bevarelsesligninger ses da umiddelbart at

-W_op > -W_ned

dvs. tabet er størst på opturen.

Større hastigheder[redigér | redigér wikikode]

For større objekter ved større hastigheder formodes det at sammenhængen mellem kraften og hastigheden er kvadratisk:

 \mathbf{F}_m = - k \mathbf{v}^2 \,

Hvor

k er en konstant der blandt andet hænger sammen med luftens tæthed og legemets form og tværsnitsareal
v er legemets hastighed

Hastighedsfunktionen for faldet kan også her findes ved hjælp af algebra og ser således ud:

 v(t) = \sqrt{ \frac{mg}{k }} \tanh \left(t \sqrt{\frac{gk}{m}} \right) \,

Hvor

m er massen af legemet
g er tyngdeaccelerationen, der typisk har en værdi på 9,82 m/s²
t0 er det tidspunkt hvor faldet starter
t er tiden

Også her vil hastigheden efterhånden som t bliver større nærme sig den endelige faldhastighed:

 v_{e} = \sqrt{\frac{mg}{k}}

Den endelige faldhstighed er større desto større massen, m, af legemet er. Tilsvarende vil en forøgelse af legemets overfladeareal i luftens retning, som er indeholdt i k, betyde en lavere endelig faldhastighed.