Ligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

En matematisk ligning er et udtryk som fastslår at to udtryk (ofte kaldet hhv. venstre og højre side af ligningen) er lige store, skrevet op på formen: (Det ene udtryk) = (det andet udtryk). Almindeligvis indgår én eller flere ubekendte talstørrelser, repræsenteret ved et eller flere bogstaver (ofte x).


Et eksempel på en ligning er:

2 \cdot x=4

Som alle andre ligninger løses den ovenstående ved at isolere den ubekendte størrelse x under brug af bestemte regneregler for ligninger: Derved bliver der populært sagt "flyttet rundt" på ligningen, så der ender med at stå, i dette tilfælde:

x = \frac{4}{2}

Er der kun en enkelt ubekendt, ender man med den isolerede størrelse (her x) på den ene side af lighedstegnet, og et større eller mindre "regnestykke" med lutter kendte talstørrelser på den anden: Svaret på dette regnestykke er det tal der får de to udtryk i den oprindelige ligning til at være lig med hinanden, og det fundne tal for x siges at tilfredsstille ligningen.

Når man har fundet frem til at x er lig med et bestemt tal, kan man kontrollere den fundne løsning ved at erstatte alle forekomster af x i den oprindelige ligning: Dette giver to regneudtryk med lutter tal, hvis resultater skal være ens ifølge lighedstegnet imellem dem.

Generelt inddeler man ligninger i tre forskellige "hovedkategorier":

  • Identiteter (eller formler) er regneudtryk der "altid" er sande, uanset talværdien af de(n) ubestemte størrelse(r). Eksemplet på dette er den såkaldte "idiotformel": cos²x + sin²x = 1
  • Absurditeter, som er ligninger hvor de to sider aldrig kan blive lige store, f.eks. x = x + 1
  • Bestemmelsesligninger, som er ligninger der tilfredsstilles af visse talværdier (én eller flere – gerne uendeligt mange, som det er tilfældet med bl.a. trigonometriske ligninger), men ikke alle.

Uafhængigt af ovenstående kategorier kan en ligning også klassificeres efter de regneoperationer den involverer, og dermed hvordan ligningen (for bestemmelsesligningernes vedkommende) skal løses:

Andengradsligning
Tredjegradsligning
Ligning af højere grad
Eksponentiel ligning
Trigonometrisk ligning
Differentialligning
Differentialligning af højere orden
Integralligning
Diofantisk ligning

med flere...

Se også[redigér | redigér wikikode]