Middelværdi

Middelværdi har to betydninger:

• Gennemsnittet af en række tal. Dette er den normale fortolkning på hverdagsdansk.
• Forventningsværdien af en stokastisk variabel. Denne betydning bruges indenfor sandsynlighedsregning og statistik.

Gennemsnit

Et gennemsnit kan beregnes på flere måder. Herunder er vist der aritmetiske-gennemsnit til forskel fra for eksempel det geometriske-gennemsnit. Når der i hverdagssprog siges gennemsnit er der næsten altid tale om det aritmetiske-gennemsnit. Gennemsnittet af en række tal er summen af tallene divideret med antallet af tal. Matematisk skrives det, at gennemsnittet af tallene $x_1, x_2, \ldots, x_n$ er:

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

Forventningsværdi

Inden for statistik er forventningsværdien (eller middelværdien) lig det sande gennemsnit for en stokastisk variabel. Man skelner mellem forventningsværdien og gennemsnittet: Gennemsnittet (benævnt $\bar{x}$) gælder for en enkelt stikprøve med et endeligt antal værdier, mens forventningsværdien (benævnt $\mbox{E}(x)$) er det sande gennemsnit. Hvis man gentager et stokastisk eksperiment uendeligt mange gange, forventer man at gennemsnittet af gennemsnittene bliver lig forventningsværdien. Gennemsnittet af en stikprøve er et estimat af hvad forventningsværdien er.

Udregning af forventningsværdi

Hvis der er tale om en diskret variabel, hvor sandsynligheden for udfaldet $x_i$ er $p_i$, er forventningsværdien givet ved:

$\ \mbox{E}( X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i$

Eksempelvis kan man regne forventningsværdien for en ærlig sekssidet terning (som lander på hver af siderne med lige stor sandsynlighed). Her er alle sandsynlighederne $\ p_i$ lig 1/6 og udfaldene $\ x_i$ er tallene 1 til 6.

$\begin{align} \operatorname{E}(X)& = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}\\[6pt] & = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3,5 . \end{align}$

En kontinuert stokastisk variabel $X$ med sandsynlighedstæthedsfunktionen $f$ siges at have en middelværdi, hvis integralet

$\ \mbox{E}(X) = \int_{-\infty}^{\infty } |x|f(x)\ dx$

er endeligt. I bekræftende fald defineres middelværdien som værdien af integralet

$\ \mbox{E}(X) = \int_{-\infty}^{\infty } xf(x)\ dx .$

Regneregler for forventningsværdier

Følgende regneregl gælder for forventningsværdier (hvor $X$ er en stokastisk variabel mens $a$ og $b$ er konstanter):

$\ \mbox{E}(a \cdot X+b) = a \cdot \mbox{E}(X) + b$

Hvis man har to stokastiske variable $X$ og $Y$, gælder:

$\ \mbox{E}(X + Y) = \mbox{E}(X) + \mbox{E}( Y)$

Hvis $X$ og $Y$ er stokastisk uafhængige, gælder desuden:

$\ \mbox{E}(X \cdot Y) = \mbox{E}(X) \cdot \mbox{E}( Y)$