Små grupper

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I matematikken er en gruppe et matematisk objekt med en bestemt struktur. Herunder følger en liste over de endelige grupper med lavest orden (antal elementer) op til gruppeisomorfi.

Listen kan benyttes til at bestemme om en given endelig gruppe G er isomorf på en kendt gruppe ved at bestemme ordenen af G, om G er abelsk eller ej og ordenen af elementerne i G.

Ordliste[redigér | redigér wikikode]

Notationen G × H står for det direkte produkt af to grupper og Gn betegner det direkte produkt af gruppen G med sig selv n gange. GH står for det semidirekte produkt, hvor H virker på G; virkningen nævnes ikke, da alle ikketrivielle virkninger giver samme produktgruppe op til isomorfi.

Desuden bemærkes, om grupperne er abelske eller simple. (For grupper af orden n < 60, er de simple grupper præcis de cykliske grupper Zp, hvor p er et primtal.) Isomorfi betegnes med lighedstegn ("=").

Det multiplikativt neutrale element er i cykelgrafen repræsenteret af den sorte cirkel. Cykelgrafen er en entydig repræsentation for alle grupper med orden mindre end eller lig 16.

I listen af undergrupper er den trivielle gruppe og gruppen selv ikke vist. Når der er flere isomorfe undergrupper, er antallet angivet i parentes.

Små abelske grupper[redigér | redigér wikikode]

De endelige abelske grupper kan let klassificeres: De er præcis de cykliske grupper og direkte produkter heraf;

Orden Gruppe Undergrupper Egenskaber Cykelgraf
1 Den trivielle gruppe = Z1 = S1 = A2 - Forskellige egenskaber gælder trivielt.
GroupDiagramMiniC1.png
2 Z2 = S2 = Dih1 - Simpel, mindste ikketrivielle gruppe
GroupDiagramMiniC2.png
3 Z3 = A3 - Simpel
GroupDiagramMiniC3.png
4 Z4 Z2   
GroupDiagramMiniC4.png
Kleins firegruppe Z2 × Z2 = Dih2 Z2 (3) Den mindste ikkecykliske gruppe
GroupDiagramMiniD4.png
5 Z5 - Simpel
GroupDiagramMiniC5.png
6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2  
GroupDiagramMiniC6.png
7 Z7 - Simpel
GroupDiagramMiniC7.png
8 Z8 Z4 , Z2  
GroupDiagramMiniC8.png
Z4 ×Z2 Z2², Z4 (2), Z2 (3)  
GroupDiagramMiniC2C4.png
Z23 Z2² (7) , Z2 (7) Pånær det neutrale element svarer elementerne til punkterne i Fanoplanen.
GroupDiagramMiniC2x3.png
9 Z9 Z3  
GroupDiagramMiniC9.png
Z3² Z3 (4)  
GroupDiagramMiniC3x2.png
10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2  
GroupDiagramMiniC10.png
11 Z11 - Simpel
GroupDiagramMiniC11.png
12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2  
GroupDiagramMiniC12.png
Z6 × Z2 = Z3 × Z2² Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z2²  
GroupDiagramMiniC2C6.png
13 Z13 - Simpel
GroupDiagramMiniC13.png
14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2  
GroupDiagramMiniC14.png
15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3  
GroupDiagramMiniC15.png
16 Z16 Z8 , Z4 , Z2  
GroupDiagramMiniC16.png
Z24 Z2 (15) , Z2² (35) , Z23 (15)  
GroupDiagramMiniC2x4.png
Z4 × Z2² Z2 (7) , Z4 (4) , Z2² (7) , Z23, Z4 × Z2 (6)  
GroupDiagramMiniC2x2C4.png
Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z2², Z8 (2) , Z4 × Z2  
GroupDiagramMiniC2C8.png
Z4² Z2 (3), Z4 (6) , Z2², Z4 × Z2 (3)  
GroupDiagramMiniC4x2.png

Små ikkeabelske grupper[redigér | redigér wikikode]

Orden Gruppe Undergrupper Egenskaber Cykelgraf
6 S3 = Dih3 Z3 , Z2 (3) Den mindste ikkeabelske gruppe
GroupDiagramMiniD6.png
8 Dih4 Z4, Z2² (3) , Z2 (5)
GroupDiagramMiniD8.png
Kvaterniongruppen, Q8 = Dic2 Z4 (3), Z2 Den mindste hamiltonske gruppe
GroupDiagramMiniQ8.png
10 Dih5 Z5 , Z2 (5)
GroupDiagramMiniD10.png
12 Dih6 = Dih3 × Z2 Z6 , Dih3 (2) , Z2² (3) , Z3 , Z2 (7)
GroupDiagramMiniD12.png
A4 Z2² , Z3 (4) , Z2 (3) Den mindste gruppe, der viser, at en gruppe ikke nødvendigvis har en undergruppe af enhver orden, der går op i gruppeordenen: Der findes ingen undergruppe af orden 6 (se Lagranges sætning og Sylowsætningerne).
GroupDiagramMiniA4.png
Dic3 = Z3 ⋊ Z4 Z2, Z3, Z4 (3), Z6
GroupDiagramMiniX12.png
14 Dih7 Z7, Z2 (7)
GroupDiagramMiniD14.png
16[1] Dih8 Z8, Dih4 (2), Z2² (4), Z4, Z2 (9)
GroupDiagramMiniD16.png
Dih4 × Z2 Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z2² (7), Z4 (2), Z2 (11)
GroupDiagramMiniC2D8.png
Den generaliserede kvaterniongruppe, Q16 = Dic4  
GroupDiagramMiniQ16.png
Q8 × Z2   Hamiltonsk
GroupC2xQ8CycleGraph.png
Den kvasihedrale gruppe af orden 16.  
GroupDiagramMiniQH16.png
Den modulære gruppe af orden 16.  
GroupDiagramMiniC2C8.png
Z4 ⋊ Z4  
GroupDiagramMinix3.png
Gruppen frembragt af Paulimatricerne.  
GroupDiagramMiniC2x2C4.png
G4,4 = Z2² ⋊ Z4  
GroupDiagramMiniG44.png

Fodnote[redigér | redigér wikikode]

  1. Wild, Marcel. "The Groups of Order Sixteen Made Easy", American Mathematical Monthly, januar 2005