Røringscirkler

En trekant med dens 4 røringscirkler: Den indskrevne cirkel er blå, og de 3 ydre røringscirkler er orange. Cirklernes centre (I, J_A,J_B,J_C) er også markeret.

I geometrien er røringscirkler de cirkler som enten tangerer alle en trekants sider eller en af disse sider samt de to øvriges forlængelser. Alle trekanter har 4 røringscirkler: Én indskreven cirkel, som tangerer samtlige trekantens sider og 3 såkaldte ydre røringscirkler.

Den indskrevne cirkel

Uddybende artikel: Indskreven cirkel

Centrum for den indskrevne cirkel er det fælles skæringspunkt mellem trekantens 3 vinkelhalveringslinjer.

Radius for den indskrevne cirkel kan beregnes vha. formlen:

$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$

hvor $r$ er radius i den indskrevne cirkel, og $a,b,c$ er trekantens sidelængder, mens $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ er halvdelen af trekantens omkreds.

De ydre røringscirkler

Centrum for hver af ydre røringscirkler kan findes som det fælles skæringspunkt mellem vinkelhalveringslinjen for den vinkel i trekanten som ligger overfor den trekantsside som røringscirklen rører (rød i figuren), og de 2 vinkelhalveringslinjer for de suplementære nabovinkler til trekantens 2 øvrige vinkler (grønne i figuren). Vinkelhalveringslinjerne for de suplementære nabovinkler kan også betragtes som de normaler til vinkelhalveringslinjerne for trekantens 2 øvrige vinkler som går gennem vinkelnspidsen.

Radiusserne for de ydre røringscirkler kan beregnes sådan:

$r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}$

hvor $r_{a}$ er radius i den ydre røringscirkel som rører siden a, og $a,b,c$ er trekantens sidelængder, mens $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ er halvdelen af trekantens omkreds.

Radius kan også beregnes ud fra kendskab til trekantens vinkler og én side:

$r_{a}=a\cdot {\frac {\cos {\frac {B}{2}}\cdot \cos {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}$

Andre formler

Der gælder følgerne sammenhæmg mellem den indskreve cirkels radius r, den omskrevne cirkels radius R og de 3 ydre røringscirklers radiusser:

$r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=4R,$

Der er denne sammenhæng mellem røringscirklernes radiusser og trekantens areal $T$:

$T^{2}=r\cdot r_{a}\cdot r_{b}\cdot r_{c}$

Litteratur

• Jens Carstensen (1994). Trigonometri. systime. s. 50-55.. De anførte formler er taget herfra.