Supremum

I matematikken siges supremum for en delmængde $A\subseteq \mathbb {R}$ af de reelle tal at være delmængdens mindste øvre grænse. Hvis $x$ er et sådant, skrives typisk: $x=\sup A$.

Hvis en mængde har flere øvre grænser, vil dens supremum således være den mindste af disse. Ved en øvre grænse i en mængde $A\subset \mathbb {R}$ forstås et reelt tal, $x$, der er større end eller lig alle elementer i $A$. Eksempelvis er 3 en øvre grænse for mængden {1,2,3}. Formelt:

$\forall a\in A:x\geq a$.

Har en mængde en øvre grænse siges den at være opad begrænset.

Den mindste øvre grænse kan så defineres ved at $x\in \mathbb {R}$ er en øvre grænse i $A\subset \mathbb {R}$, og hvis $b$ er en øvre grænse i $A$ er $x\leq b$.

Eksempler

$\sup\{1,2,3\}=3$

$\sup\{(-1)^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}=1$

$\sup\{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=2\}={\sqrt {2}}$

Supremumsegenskaben

En totalt ordnet mængde siges at have supremumsegenskaben, hvis enhver ikke-tom, opadtil begrænset delmængde af den har supremum.

En mængde har supremumsegenskaben, hvis og kun hvis den har infimumsegenskaben.

Se også

• Infimum