Supremum

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

I matematikken siges supremum for en delmængde A \subseteq \mathbb{R} af de reelle tal at være delmængdens mindste øvre grænse. Hvis x er et sådant, skrives typisk: x = \sup A.

Hvis en mængde har flere øvre grænser, vil dens supremum således være den mindste af disse. Ved en øvre grænse i en mængde A \subset \mathbb{R} forstås et reelt tal, x, der er større end eller lig alle elementer i A. Eksempelvis er 3 en øvre grænse for mængden {1,2,3}. Formelt:

\forall a \in A : x \geq a.

Har en mængde en øvre grænse siges den at være opad begrænset.

Den mindste øvre grænse kan så defineres ved at x \in \mathbb{R} er en øvre grænse i A \subset \mathbb{R}, og hvis b er en øvre grænse i A er x \leq b.

Eksempler[redigér | redigér wikikode]

\sup \{1,2,3\} = 3

\sup \{(-1)^n \mid n \in \mathbb{N}\} = 1

\sup \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 2\} = \sqrt{2}

Supremumsegenskaben[redigér | redigér wikikode]

En totalt ordnet mængde siges at have supremumsegenskaben, hvis enhver ikke-tom, opadtil begrænset delmængde af den har supremum.

En mængde har supremumsegenskaben, hvis og kun hvis den har infimumsegenskaben.

Se også[redigér | redigér wikikode]

Infimum