Supremum

I matematikken siges supremum for en delmængde $A \subseteq \mathbb{R}$ af de reelle tal at være delmængdens mindste øvre grænse. Hvis $x$ er et sådant, skrives typisk: $x = \sup A$.

Hvis en mængde har flere øvre grænser, vil dens supremum således være den mindste af disse. Ved en øvre grænse i en mængde $A \subset \mathbb{R}$ forstås et reelt tal, $x$, der er større end eller lig alle elementer i $A$. Eksempelvis er 3 en øvre grænse for mængden {1,2,3}. Formelt:

$\forall a \in A : x \geq a$.

Har en mængde en øvre grænse siges den at være opad begrænset.

Den mindste øvre grænse kan så defineres ved at $x \in \mathbb{R}$ er en øvre grænse i $A \subset \mathbb{R}$, og hvis $b$ er en øvre grænse i $A$ er $x \leq b$.

Eksempler

$\sup \{1,2,3\} = 3$

$\sup \{(-1)^n \mid n \in \mathbb{N}\} = 1$

$\sup \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 2\} = \sqrt{2}$

Supremumsegenskaben

En totalt ordnet mængde siges at have supremumsegenskaben, hvis enhver ikke-tom, opadtil begrænset delmængde af den har supremum.

En mængde har supremumsegenskaben, hvis og kun hvis den har infimumsegenskaben.

Se også

Infimum