Infinitesimalregningens hovedsætning

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Gå til: navigation, søg

Infinitesimalregningens hovedsætning siger at differentiation og integration er (i en vis forstand) modsatte operationer. Mere præcist kan en anti-differentialkvotient beregnes med bestemte integraler og omvendt.

Denne forbindelse tillader os at finde den totale ændring i en funktion over et interval ud fra dens ændringshastighed til enhver tid, ved at integrere sidstnævnte. Denne erkendelse, som både Newton og Leibniz kom frem til, var nøglen til den massive fremvækst af analytiske resultater efter deres arbejde blev kendt.

Dette fundamentale teorem giver en algebraisk måde at beregne mange bestemte integraler på – uden at benytte grænseværdier – ved at finde stamfunktioner (eller omvendte afledede). Det er også prototypen på en differentialligning. Differentialligninger relaterer en ukendt funktion til dens afledede, og er allestedsnærværende i videnskaben.

Formel definition[redigér | redigér wikikode]

Lad f:[a,b]\to\mathbb{R} være en kontinuert funktion. Da er funktionen integrabel. Lad F:[a,b]\to\mathbb{R} være defineret ved

F(x) = \int_a^x f(t) \, dt.

Så er F differentiabel på ]a,b[ og F'(x) = f(x).

Korollarer[redigér | redigér wikikode]

Hvis F er funktionen, der opfylder F'(x) = f(x), hvor f:[a,b]\to\mathbb{R} er kontinuert, gælder

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

og

\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).

Se også[redigér | redigér wikikode]