Kovarians

En kovarians er et spredningsforhold mellem to forskellige stokastiske variabler X og Y og betegnes $\mbox{Cov}(X,Y)$. Den regnes:

$\mbox{Cov}(X,Y) = \mbox{E}[ (X - \mbox{E}(X)) \cdot (Y - \mbox{E}(Y)) ]$

hvor $\mbox{E}(X)$ angiver middelværdien for $X$. En fortolkning af formlen er, at hvis $X$ er høj i forhold til sin middelværdi når $Y$ er høj i forhold til sin middelværdi (og ligeledes med lav), varierer $X$ og $Y$ "sammen" (derfra navnet kovarians, ko = sammen).

Kovarians er ikke uafhængig overfor skalering: Hvis $X$ bliver fordoblet, bliver kovariansen også fordoblet. Korrelation er et andet mål, som kan bruges, når man vil undgå dette problem.

Empiriske størrelser

For en stikprøve med $n$ datapunkter $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ og $(y_1,\dots,y_n)$ beregnes empiriske kovarians således:

$\mbox{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})\cdot (y_i - \bar{y})$

hvor $\bar{x}$ er gennemsnittet af $x$

Regneregler

Rækkefølgen af X og Y er ligegyldig:

$\ \mbox{Cov}(X,Y) = \mbox{Cov}(Y,X)$

Kovariansen mellem en variabel og sig selv er lig variansen:

$\ \mbox{Cov}(X,X) = \mbox{Var}(X)$

Skaleres X og Y med konstanterne a henholdvist b, vil kovariansen skaleres med produktet af de to konstanter:

$\mbox{Cov}(a\cdot X,b\cdot Y) = a\cdot b\cdot \mbox{Cov}(X,Y)$

Kovarians kan også skrives

$\mbox{Cov}(X, Y) = \mbox{E}(X \cdot Y) - \mbox{E}(X) \cdot \mbox{E}(Y)$

Heraf følger, at hvis X og Y er uafhængige, vil kovariansen være nul, da $\mbox{E}(X \cdot Y) = \mbox{E}(X) \cdot \mbox{E}(Y)$ for uafhængige variable.

Se også

• Varians
• Korrelation
• Autokovarians

Stub Denne artikel om matematik er kun påbegyndt. Hvis du ved mere om emnet, kan du hjælpe Wikipedia ved at udvide den.